2018届北师大版 坐标系与参数方程(选修4-4) 单元测试

专题七 选修4系列

第1讲 坐标系与参数方程（选修4-4）

1．(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程

?x＝－8＋t，

为?(tt?y＝2

学号 55410137)

2

?x＝2s，?

为参数)，曲线C的参数方程为?(s为参

??y＝22s

数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．(导

?x＝－8＋t，

解：由?消去t， t

?y＝2

得l的普通方程为x－2y＋8＝0，因为点P在曲线C上，设点P(2s2，22s)．

|2s2－42s＋8|

则点P到直线l的距离d＝＝

52（s－2）2＋4

，

5

445

所以当s＝2时，d有最小值＝.

55

2．(2016·北京卷改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.

(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两点间的距离． 解：(1)由C1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， 所以x－3y－1＝0，表示一条直线．

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由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. 所以x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1， 所以C2是圆心为(1，0)，半径为1的圆．

[来源:学。科。网Z。X。X。K]

(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－3y－1＝0上， 因此直线C1过圆C2的圆心．

所以两交点A，B的连线段是圆C2的直径， 因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.

3．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为

???x＝2＋t，?(t为参数)，直线l2的参数方程为?m?y＝?y＝kt

x＝－2＋m，

(m为参

?k

数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

??x＝2＋t，

解：(1)直线l1：?(t为参数)

??y＝kt

化为普通方程y＝k(x－2)．①

[来源:Zxxk.Com]

直线l2化为普通方程x＋2＝ky.② 联立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0)． 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)． (2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝2，

??x＋y＝2，

联立?22得

?x－y＝4?

?

?2

y＝－，?2

32x＝，2

182

所以ρ2＝x2＋y2＝＋＝5，

44

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所以与C的交点M的极径为5.

??x＝2＋2cos θ，

4．(2017·西安调研)已知曲线C的参数方程为?(θ

?y＝2sin θ?

为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

?π?

直线l的极坐标方程为ρsin?θ＋6?＝4.(导学号 55410138)

??

(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； π

(2)若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，

311π

射线θ＝与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积．

6

??x＝2＋2cos θ，

解：(1)由?(θ为参数)，消去θ.

?y＝2sin θ?

普通方程为(x－2)2＋y2＝4.

从而曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因

?π?31

??θ＋为直线l的极坐标方程为ρsin即ρsin θ＋ρcos θ＝4， 6?＝4，22?

所以直线l的直角坐标方程为x＋3y－8＝0.

?π??π?

(2)依题意，点A?2，3?，B?4，3?，

????

?11π?11π

联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程可得，P?23，6?.

6???ππ?1

所以|AB|＝2，所以S△PAB＝×2×23sin?3＋6?＝23.

2??

5．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2

＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

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