1993年全国统一高考数学试卷(文科)

中档题．

15．（4分）（1993?全国）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（ ） A．a1+a8＞a4+a5 B．a1+a8＜a4+a5 C．a1+a8=a4+a5

D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定 【考点】87：等比数列的性质．

【分析】用作差法比较即可． 【解答】解：a1+a8﹣（a4+a5）

=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1﹣q3）（1﹣q4） =a1（1+q）（q2+q+1）（q﹣1）2（1+q2）

又∵a1＞0，a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列 ∴q＞0

∴a1+a8﹣（a4+a5）＞0 另解：a1+a8﹣（a4+a5）

=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1﹣q3）（1﹣q4）， 由各项都大于零的等比数列，公式q≠1，

不管q＞1还是0＜q＜1，即可判断a1+a8﹣（a4+a5）＞0． 故选：A．

【点评】本题考查比较法和等比数列通项公式的应用．

16．（4分）（1993?全国）设有如下三个命题：

甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内； 乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交； 丙：平面α与平面β相交． 当甲成立时（ ）

A．乙是丙的充分而不必要条件

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B．乙是丙的必要而不充分条件 C．乙是丙的充分且必要条件

D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；29：充分条件、必要条件、充要条件．

【专题】14 ：证明题；16 ：压轴题．

【分析】判断乙是丙的什么条件，即看乙?丙、丙?乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．

【解答】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立 故选：C．

【点评】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．

17．（4分）（1993?全国）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（ ）

A．6种 B．9种 C．11种

D．23种

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题． 【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．

【分析】首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A44=24种填法，

其中，四个数字全部相同的有1种，

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有1个数字相同的有4×2=8种情况， 有2个数字相同的有C42×1=6种情况， 有3个数字相同的情况不存在，

则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种， 故选：B．

【点评】本题考查排列、组合的运用，注意此类题目的操作性很强，必须实际画图操作，认真分析．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 18．（4分）（1993?全国）设a＞1，则【考点】6F：极限及其运算．

= ﹣a2 ．

【专题】11 ：计算题．

【分析】当n→∞时，an→∞．由此能够推导出

=的值．

【解答】解：===﹣a2．

【点评】本题考查极限的应用，解题时要注意等价转化的前提条件．

19．（4分）（1993?全国）若双曲线数k的取值范围为 {k|

或

=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实

} ．

【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11 ：计算题． 【分析】由双曲线

=1与圆x2+y2=1没有公共点知圆半径的长小于双曲

线的实半轴的长，由此可以求出实数k的取值范围．

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【解答】解：∵双曲线∴|3k|＞1，∴解得

或

．

或}． ．

=1与圆x2+y2=1没有公共点，

实数k的取值范围为{k|答案为{k|

或

}．

【点评】熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解．

20．（4分）（1993?全国）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 100 种取法（用数字作答）．

【考点】D5：组合及组合数公式；D8：排列、组合的实际应用．

【分析】根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；分析可得，若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；分别求出两种情况下的取法情况数，相加可得答案．

【解答】解：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数； 若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数； 若有1个奇数时，有C51?C53=50种取法， 若有3个奇数时，有C51?C53=50种取法， 故符合题意的取法共50+50=100种取法； 故答案为100．

【点评】本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．

21．（4分）（1993?全国）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）= 1 ． 【考点】4R：反函数．

【专题】11 ：计算题．

【分析】欲求f﹣1（0），根据反函数的定义知，只要求出使等式4x﹣2x+1=0，成立的x的值即可．

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