初中升高中数学衔接最全经典教材

3a?ab11?____ ____； ，b?，则223a?5ab?2b23x2?3xy?y222（2）若x?xy?2y?0，则?__ __；

x2?y2（1）a?2．已知：x?2yy11的值． ,y?，求?23x?yx?yC 组

1．选择题：

（1）若?a?b?2ab??b??a，则 （ ） （A）a?b （B）a?b （C）a?b?0 （D）b?a?0

（2）计算a?1a等于 （ （A）?a （B）a （C）??a （D）?a 2．解方程2(x2?11x2)?3(x?x)?1?0．

3．计算：11?3?12?4?13?5??19?11． 4．试证：对任意的正整数n，有11?2?3?12?3?4??11

n(n?1)(n?2)＜4

．

1.1.1．绝对值

1．（1）?5；?4 （2）?4；?1或3 2．D 3．3x－18

1.1.2．乘法公式

1．（1）13a?12b （2）12,14 （3）4ab?2ac?4bc

2．（1）D （2）A

1.1.3．二次根式

1． （1）3?2 （2）3?x?5 （3）?86 （4）5． 2．C 3．1 4．＞

1.1.4．分式

1．1 4．992 2．B 3． 2?1100

习题1．1 A组

1．（1）x??2或x?4 （2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或x＞3 2．1 3．（1）2?3 （2）?1?a?1 （3）6?1

B组

1．（1）37 （2）52，或－15 2．4．

C组 1．（1）C （2）C 2．x1361?2,x2?2 3．55

4．提示：

1111n(n?1)(n?2)?2[n(n?1)?(n?1)(n?2)]

）

1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）x2?(a?b)xy?aby2； （4）xy?1?x?y．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1 x x 1 －2 －1 －ay －1

1 x x 1 6 －2 －by －2 图1．2－3 图1．2－1 图1．2－4 图1．2－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图1．2－4，得

x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by) （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1

＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法

例2 分解因式：

（1）x3?9?3x2?3x； （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6． 解： （1）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)． 或

x3?9?3x2?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝(x?1)3?23

＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22] ＝(x?3)(x2?3)．

（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6 =2x2?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3)．

或

2x2?xy?y2?4x?5y?6=(2x2?xy?y2)?(4x?5y)?6

=(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y?2)(x?y?3)．

3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

x y

图1．2－5

－1 1

若关于x的方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax2?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).

2例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）x2?2x?1； （2）x2?4xy?4y2． 解： （1）令x2?2x?1=0，则解得x1??1?2，x2??1?2，

??? ∴x2?2x?1=??x?(?1?2)??x?(?1?2)?

=(x?1?2)(x?1?2)．

（2）令x2?4xy?4y2=0，则解得x1?(?2?22)y，x1?(?2?22)y， ∴x2?4xy?4y2=[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]．

练 习

1．选择题：

多项式2x?xy?15y的一个因式为 （ ） （A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y 2．分解因式：

（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；

（3）x2－2x－1； （4）4(x?y?1)?y(y?2x)．

习题1．2

1．分解因式：

（1） a?1； （2）4x?13x?9；

22（3）b?c?2ab?2ac?2bc； （4）3x?5xy?2y?x?9y?4．

22223422．在实数范围内因式分解：

2（1）x?5x?3 ； （2）x?22x?3；

2（3）3x?4xy?y； （4）(x?2x)?7(x?2x)?12． 3．?ABC三边a，b，c满足a?b?c?ab?bc?ca，试判定?ABC的形状． 4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

222222221.2分解因式

1． B 2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）(2a?b)(4a2?2ab?b2) （3）(x?1?2)(x?1?2) （4）(2?y)(2x?y?2)．

习题1．2

1．（1）?a?1??a2?a?1? （2）?2x?3??2x?3??x?1??x?1? （3）?b?c??b?c?2a? （4）?3y?y?4??x?2y?1?

?5?13??5?13?2．（1）?????x???x??； （2）x?2?5x?2?5； 22?????2?7??2?7? （3）3??x?3y????x?3y??； （4）?x?3?(x?1)(x?1?5)(x?1?5)．

????3．等边三角形 4．(x?a?1)(x?a)

????

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为

b2b2?4ac)? (x?． ① 2a4a2因为a≠0，所以，4a2＞0．于是

（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－

?b?b2?4ac x1，2＝；

2ab； 2a（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x?b2)一定大于或等于零，因此，原方程2a没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

?b?b2?4ac x1，2＝；

2a（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－

b； 2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

22

（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

a?a2?4a?a2?4， x2?． x1?22（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，

所以， ①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1．

（3）由于该方程的根的判别式为