初中升高中数学衔接最全经典教材

a2等是有理式． 1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，等等． 一般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与

ax?b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式a2的意义

a2?a???a,a?0,

?a,a?0.?例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4x6y(x?0)． 解： （1）12b?23b；

（2）a2b?ab?ab(a?0)； （3）4x6y?2x3y??2x3y(x?0)．

例2 计算：3?(3?3)．

3?33?(3?3) ＝ (3?3)(3?3)33?3 ＝

9?33(3?1) ＝

63?1

＝．

23?3＝)解法二： 3?(3

3?3例3 试比较下列各组数的大小：

解法一： 3?(3?3＝)3

3

3(3?1)1 ＝ 3?1 ＝ ＝ ＝

3?1 (3?1)(3?1)3?1

． 2

（1）12?11和11?10； （2）解： （1）∵12?11? 11?2和22－6. 6?412?11(12?11)(12?11)1， ??112?1112?1111?110?(1?110)(?1110)?11?101?11， 1010?

又12?11?11?10， ∴12?11＜11?10．

22－6(22－6)(22+6)2??, 122+622+6 又 4＞22，

∴6＋4＞6＋22，

2 ∴＜22－6.

6?4例4 化简：(3?2)2004?(3?2)2005． （2）∵22－6?解：(3?2)2004?(3?2)2005

＝(3?2)2004?(3?2)2004?(3?2)

? ＝??(3?2)?(3?2)? ＝12004?(3?2)

2004?(3?2)

＝3?2．

例 5 化简：（1）9?45； （2）x2?

解：（1）原式?5?45?4

?(5)2?2?2?5?22 11 （2）原式=(x?)2?x?，

xx∵0?x?1， 1∴?1?x， x1 所以，原式＝?x．

x1?2(0?x?1)． 2x?(2?5)2 ?2?5?5?2．

3?3?3? 解： ∵x?y?3?例 6 已知x?23?2，求3x2?5xy?3y2的值 ． ,y?23?223?2??(3?2)2?(3?2)2?10， 23?23?23?2??1， 3?23?2 ∴3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?102?11?289．

xy?练 习 1．填空： （1）1?3＝__ ___；

1?32（2）若(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，则x的取值范围是_ _ ___； （3）424?654?396?2150?__ ___； （4）若x?2．选择题： 等式x?1?x?1x?1?x?15，则??______ __． 2x?1?x?1x?1?x?1x成立的条件是 （ ） x?2x?x?2

（A）x?2 （B）x?0 （C）x?2 （D）0?x?2

a2?1?1?a23．若b?，求a?b的值．

a?14．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如

AAA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： BBBAA?M； ?BB?MAA?M?． BB?M 上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式

am?n?p像b，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

2mc?dn?p5x?4AB??例1 若，求常数A,B的值．

x(x?2)xx?2ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4???解： ∵?，

xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)?A?B?5, ∴?

2A?4,? 解得 A?2,B?3．

111??例2 （1）试证：（其中n是正整数）；

n(n?1)nn?1111 （2）计算：； ???1?22?39?101111????． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有

2?33?4n(n?1)211(n?1)?n1??（1）证明：∵?，

nn?1n(n?1)n(n?1)111?? ∴（其中n是正整数）成立．

n(n?1)nn?1（2）解：由（1）可知

111??? 1?22?39?1011111 ?(1?)?(?)??(? )22391091 ?1?＝．

1010

（3）证明：∵

1112?3?3?4??n(n?1) ＝(1111112?3)?(3?4)??(n?n?1)

＝112?n?1，

又n≥2，且n是正整数，

∴1

n＋1

一定为正数，

∴112?3?13?4??1n(n?1)＜2 ． 例3 设e?ca，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．

解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0， ∴(2e－1)(e－2)＝0，

∴e＝1

2 ＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．

练 习

1．填空题：

对任意的正整数n，1n(n?2)? (11n?n?2)；

2．选择题：

若2x?yx?y?23，则xy＝ （A）１ （B）54 （C）465 （D）53．正数x,y满足x2?y2?2xy，求x?yx?y的值．

4．计算11111?2?2?3?3?4?...?99?100．

习题1．1

A 组

1．解不等式：

(1) x?1?3； (2) x?3?x?2?7 ； (3) x?1?x?1?6．

２．已知x?y?1，求x3?y3?3xy的值． 3．填空：

（1）(2?3)18(2?3)19＝________；

（2）若(1?a)2?(1?a)2?2，则a的取值范围是________； （3）11?2?12?3?13?4?14?5?15?6?________．

B 组

1．填空：

） （