2020年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练49抛物线(含解析)

→→22

则CA＝(－a－x0，a－x0)，CB＝(a－x0，a－x0)．

→→222222

∵CA⊥CB，∴CA·CB＝0，即－(a－x0)＋(a－x0)＝0，(a－x0)(－1＋a－x0)＝0.∴x0＝a－1≥0，∴a≥1.] 13．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝____________．

【答案】6 [如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF．

2

由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2． ∵点M为FN的中点，PM∥OF， 1

∴|MP|＝|FO|＝1．

2又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3．

由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]

14．如图，已知抛物线C：y＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，

2

y1)，M(x2，y2)．

(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；

(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线

AB与直线MN斜率之比为定值．

【答案】(1)解 设直线AM的方程为x＝my＋p， 代入y＝2px得y－2mpy－2p＝0，

5

2

2

2

则y1y2＝－2p＝－8，得p＝2． ∴抛物线C的方程为y＝4x． (2)证明 设B(x3，y3)，N(x4，y4)． 由(1)可知y3y4＝－2p，y1y3＝－p． 又直线AB的斜率kAB＝直线MN的斜率kMN＝

－2p2

2

2

2

y3－y12p＝， x3－x1y1＋y3

y4－y22p＝， x4－x2y2＋y4

－2p＋

2

2

y1＋y3

y1y3y1y3kABy2＋y4

∴＝＝＝＝2． kMNy1＋y3y1＋y3y1＋y3

故直线AB与直线MN斜率之比为定值．

15．(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y＝4x上存在不同的两点A，

2

－2p2

B满足PA，PB的中点均在C上．

(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

(2)若P是半椭圆x＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.

4

2

y2

?12??12?【答案】(1)证明 设P(x0，y0)，A?y1，y1?，B?y2，y2?． ?4??4?

因为PA，PB的中点在抛物线上， 12

y＋x04y＋y0?2?所以y1，y2为方程??＝4·2

?2?即y－2y0y＋8x0－y0＝0的两个不同的实根． 所以y1＋y2＝2y0， 因此，PM垂直于y轴． (2)解 由(1)可知，?

?y1＋y2＝2y0，?

??y1y2＝8x0－y0

2

2

2

，

12232

所以|PM|＝(y1＋y2)－x0＝y0－3x0，

84|y1－y2|＝22

y2． 0－4x0

因此，△PAB的面积

6

S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝

因为x＋＝1(x0<0)，

4

20

123223

(y0－4x0)． 42

y20

所以y0－4x0＝－4x0－4x0＋4∈[4,5]，

1510??

因此，△PAB面积的取值范围是?62，?．

4??

22

7