2020版高考数学二轮复习每日一题规范练(第三周)(文)(含解析)

每日一题 规范练(第三周)

星期一 2020年4月6日

3

[题目1] 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos 2C＝－.

4(1)求sin C；

(2)当c＝2a，且b＝32时，求a.

332

解：(1)因为cos 2 C＝－，即1－2sin C＝－. 44π

又0＜C＜，所以sin C＝

2(2)由(1)知sin C＝

714＝. 84

14

，且△ABC是锐角三角形， 4

2

所以cos C＝1－sin C＝

2. 4

因为c＝2a，＝，

sin Asin C11452

所以sin A＝sin C＝，cos A＝.

288

37

所以sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝.

8因为＝，b＝32，所以a＝2.

sin Asin B星期二 2020年4月7日

[题目2] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞1，且a2＋1为a1，a3的等差中项，

acabS3＝14.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝an· log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由题意，得2(a2＋1)＝a1＋a3. 又S3＝a1＋a2＋a3＝14，

所以2(a2＋1)＝14－a2，所以a2＝4. 41因为S3＝＋4＋4q＝14，所以q＝2或q＝.

q2又q＞1，所以公比q＝2. 因此an＝a2q

n－2

＝4·2

n－2

＝2.

- 1 -

n(2)由(1)知an＝2， 所以bn＝an·log2an＝n·2，

所以Tn＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋(n－1)×2

2

3

4

1

2

3

nnn－1

＋n×2.

n＋1

n所以2Tn＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋(n－1)×2＋n×2两式相减得－Tn＝2＋2＋2＋2＋…＋2－n×22.

故Tn＝(n－1)2

n＋1

2

3

4

n.

nnn＋1

2（1－2）n＋1n＋1＝－n×2＝(1－n)2－

1－2

＋2.

星期三 2020年4月8日

2π

[题目3] 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且∠BAD＝，

3点M是PC的中点．

(1)求证：PA∥平面MDB；

(2)设菱形ABCD的边长为a，若PB⊥PD，三棱锥PABD的体积为(1)证明：连接AC，与BD交于点N，连接MN(如图)，

6

，求实数a的值． 3

由底面ABCD是菱形，知点N是AC的中点， 又点M是PC的中点， 所以MN∥PA.

由于MN?平面MDB，PA?平面MDB， 所以PA∥平面MDB.

(2)解：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD. 又AB＝AD，所以Rt△PAD≌Rt△PAB，所以PB＝PD. 由PB⊥PD，得2PB＝BD，

2π

则由菱形ABCD的边长为a，∠BAD＝，

3可得BD＝3a，

- 2 -

2

2

所以PB＝

62

a，PA＝a， 22

111232636

所以VP-ABD＝S△ABD·PA＝×a××a＝a＝，解得a＝2.

33222243

星期四 2020年4月9日

[题目4] 某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还必须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．

某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：

性别 选考方案确定情况 选考方案确定的男生 有6个 选考方案待确定的有8人 选考方案确定的女生 有10个 选考方案待确定的有6人 物理 化学 生物 历史 地理 政治 6 6 3 1 2 0 5 4 0 1 2 1 8 9 6 3 3 1 5 4 0 0 1 1 (1)试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？ (2)写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数(直接写出结果)； (3)从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率． 解：(1)设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，因为在选考方案确定的学3＋63

生中，选生物的频率为＝，

8＋6＋10＋610

3

所以估计选择“生物”的概率约为. 10

3

所以选择生物的人数约为x＝420×＝126(人)．

10

(2)由统计图表知，选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数有2人．

- 3 -

(3)设选择物理、生物、化学的学生分别为A1，A2，A3，选择物理、化学、历史的学生为

B1，选择物理、化学、地理的学生分别为C1，C2，所以任取2名男生的基本事件有(A1，A2)，

(A2，A3)，(A3，B1)，(B1，C1)，(C1，C2)，(A1，A3)，(A2，B1)，(A3，C1)，(B1，C2)，(A1，B1)，(A2，C1)，(A3，C2)，(A1，C1)，(A2，C2)，(A1，C2)共15种结果．

所以，两名男生选考科目完全相同的基本事件共有4个，分别为(A1，A2)，(A2，A3)，(C1，

C2)，(A1，A3)．

4

所以，2名学生选考科目完全相同的概率为.

15

星期五 2020年4月10日

x2y2

[题目5] 已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上的点到右焦点F(c，0)的最大距离是2＋1，

ab且1，2a，4c成等比数列．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M(m，0)求实数m的取值范围．

解：(1)由于1，2a，4c成等比数列， 所以1×4c＝2a，即a＝2c.① 又a＋c＝2＋1.② 联立①②得a＝2，c＝1. 则b＝a－c＝1.

所以椭圆的方程为＋y＝1.

2

(2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．

??x＋2y－2＝0，2222

与椭圆方程联立得?消去y可得(1＋2k)x－4kx＋2k－2＝0.

?y＝k（x－1），?

2

2

2

2

2

2

2

x2

2

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

4k－2k则x1＋x2＝2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝2.

1＋2k1＋2k2

?2k2，－k2?.

可得线段AB的中点为N???1＋2k1＋2k?

当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0.

12k当k≠0时，直线MN的方程为y＋2＝－(x－2)，

1＋2kk1＋2k化简得ky＋x－

2

k2

k2

1＋2k2

＝0.令y＝0，得m＝2.

1＋2kk2

- 4 -