矢量分析与场论 - 谢树艺习题答案

习题1 解答

1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

?1?x?acost,y?bsint

?2?x?3sint,y?4sint,z?3cost

解： ?1?r?acosti?bsintj，其图形是xOy平面上之椭圆。

?2?r?3sinti?4sintj?3costk，其图形是平面4x?3y?0与圆柱面

x2?z2?32之交线，为一椭圆。

2．设有定圆O与动圆c，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M所描曲线的矢量方程。

解：设M点的矢径为OM?r?xi?yj，?AOC??，CM与x轴的夹角为

2???；因OM?OC?CM有

r?xi?yj?2acos?i?2asin?j?acos?2????i?asin?2????j

则

x?2acos??acos2?,y?2asin??asin2?.

故r?(2acos??acos2?)i?(2asin??asin2?)j

24．求曲线x?t,y?t,z?23t的一个切向单位矢量?。 32解：曲线的矢量方程为r?ti?tj?23tk 3dr2?i?2tj?2tk 则其切向矢量为dt 模为|dr|?1?4t2?4t4?1?2t2 dt

drdri?2tj?2t2k/||?于是切向单位矢量为

dtdt1?2t226．求曲线x?asint,y?asin2t,z?acost,在t??4处的一个切向矢量。

2r?asinti?asin2tj?acostk 解：曲线矢量方程为

切向矢量为??dr?asin2ti?2acos2tj?asintk dtdrdtt?在t??4处，???4?ai?a2k 27.求曲线x?t2?1,y?4t?3,z?2t2?6t 在对应于t?2 的点M处的切线方程和法平面方程。

解：由题意得M(5,5,?4),曲线矢量方程为r在t?2的点M处，切向矢量???(t2?1)i?(4t?3)j?(2t2?6t)k,

drdt?[2ti?4j?(4t?6)k]t?2?4i?4j?2k

t?2于是切线方程为

x?5y?5z?4x?5y?5z?4??,即?? 442221于是法平面方程为2(x?5)?2(y?5)?(z?4)?0，即 2x?2y?z?16?0

8．求曲线r?ti?t2j?t3k上的这样的点，使该点的切线平行于平面x?2y?z?4。 解：曲线切向矢量为??dr?i?2tj?3t2k， ⑴ dt平面的法矢量为n?i?2j?k，由题知

22 ??n?i?2tj?3tk??i?2j?k??1?4t?3t?0

??得t??1,?1。将此依次代入⑴式，得31??3?|t??1??i?j?k,?|故所求点为??1,1?1?,??t??111i?j?k3927

1??11,,?? ?3927?习题2 解答

1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。

?1?u?

1;

Ax?By?Cz?D2

?2?u?arcsinzx?y22 解：?1?场所在的空间区域是除Ax?By?Cz?D?0外的空间。 等值面为

11，这是与平（C1?0为任意常数）?C1或Ax?By?Cz?D??0Ax?By?Cz?DC1面Ax?By?Cz?D?0平行的空间。

?2?场所在的空间区域是除原点以外的z2?x2?y2的点所组成的空间部分。等值面为z2?(x2?y2)sin2c,(x2?y2?0)，

当sinc?0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）； 当sinc?0时，是除原点外的xOy平面。

2．求数量场u?x2?y2z经过点M?1,1,2?的等值面方程。

解：经过点M?1,1,2?等值面方程为

x2?y2?12?12uz?2?1，

即z?x2?y2，是除去原点的旋转抛物面。

3．已知数量场u?xy，求场中与直线x?2y?4?0相切的等值线方程。 解：设切点为?x0,y0?，等值面方程为xy?c?x0y0，因相切，则斜率为 k??y0x??1，即x0?2y0 02点?x0,y0?在所给直线上，有

x0?2y0?4?0

解之得y0?1,x0?2 故xy?2

4．求矢量A?xy2i?x2yj?zy2k的矢量线方程。

3

解 矢量线满足的微分方程为 A?dr?0， 或

dxdydz ??222xyxyzydxdz?. xz有xdx?ydy,?x2?y2?C1,(C1,C2为任意常数) 解之得??z?C2x5.求矢量场A?x2i?y2j?(x?y)zk通过点M(2,1,1)的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为

dxdydz??. 22(x?y)zxy由

dxdy11?得??C1， 22xyxyd(x?y)d(x?y)dzdz即?,?.解得x?y?C2z. 22x?yz(x?y)zx?y按等比定理有

?111???C1,y故矢量线方程为?x又M(2,1,1)求得C1??,C2?1

2?x?y?Cz2??111???y2. 故所求矢量线方程为?x?x?y?z?习题3 解答

1．求数量场u?x2z3?2y2z在点M?2,0,?1?处沿l?2xi?xy2j?3z4k的方向导数。

解：因lM??2xi?xy2j?3z4k?M?4i?3k，其方向余弦为

cos??43,cos??0,cos??. 55在点M(2,0,?1)处有

?u?u?u?2xz3??4,?4yz?0,?3x2z2?2y2?12, ?x?y?z所以

?u43??(?4)?0?0??12?4 ?l554