静心研究 准确把握 科学备考（之四）

静心研究 准确把握 科学备考（之四）

——2010年高考新课程代数内容复习漫谈

四、训练落实，切忌走过场、搞形式

世界上最伟大的事业，都是一点一滴完成的.

——苏格兰社会改革家托马斯●格恩

1．巧用函数中“三个二次”题型解题

新课程的代数知识结构的新特点是体现在以函数思想为主线的代数体系，淡化了代数运算与变形技巧，注重函数数学思想方法的渗透，注重函数方法的应用意识的培养。二次函数、二次方程与二次不等式这三者之间有着不可分割的天然关系，它们不但是沟通低次与高次函数、方程、不等式的纽带与桥梁，更重要的是解决函数零点分布、不等式恒成立、函数不等式等问题的必不可少的工具．可想而知，虽然高考中直接考查“三个二次”的内容份量不重，但是与它相关的内容恰有较大的比重。因此在高考复习中，搞好“三个二次”的复习，是落实数学双基、确保数学高考成功的关键环节。

分析历年的高考试卷，关于“三个二次”的内容的考点归纳起来主要有以下方面。 （1）直接考查二次函数的最值、图像问题；

（2）直接考查二次方程的根的分布问题，构成变量的线性不等关系，与目标函数的最优解交汇； （3）直接考查含参数的二次不等式的解的问题； （4）与不等式恒成立相关的二次函数的最值问题；

（5）把“三个二次”作为解题工具的综合性问题，如导函数为二次函数的高次函数的综合问题等。

新课程的数学高考命题注重函数思想的能力立意，以二次函数为基点的命题思维形式应值得关注，根据新课程的特点，命题的趋势主要会表现在：①以二次函数的性质、图像、最值、二次不等式的解的形式为知识点的选择、填空的小题；②以二次方程的根分布为背景的变量范围问题、体现规划思想的小题；③含参变量的不等式恒成立的问题；④以二次函数在指定范围的最值、二次不等式、二次方程的根为基点设计综合性的大题，可以与任何组快知识交汇，尤其是解析几何的最值问题。

例1．已知关于x的不等式(a?4)x?(a?2)x?1?0的解集是空集，求实数a的取值范围。

2例2．设f(x)?3ax?2bx?c，若a?b?c?0,f(0)?0,f(1)?0，求证：

22

（1）a?0且?2?b??1； a（2）方程f(x)?0在（0，1）内有两个实根。 例3．若x1,x2是关于方程x?ax?a?（1）求实数a的取值集合A；

（2）试问：是否存在实数m，使得不等式m2?tm?42?6??x1?3x2??x2?3x1?对任意a?A及t???1,1?恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

例4．已知二次函数f(x)?ax2?bx?1(a,b?R,a?0)，设方程f(x)?x的两个实数根为x1和x2。 (1)如果x1?2?x2?4，设函数f(x)的对称轴为x?x0，求证：x0??1； (2)如果x1?2，x2?x1?2，求b的取值范围。

21?0的两个实数根． 2

2．妙用导数解决一些实际应用问题

导数是高考的重要考点之一，包括导数的概念及几何意义、基本初等函数的导数、简单的复合函数的求导方法、常用导数运算公式和导数的应用等内容。利用导数求函数的单调区间、最值是近几年高考的必考点，也是难点。

导数的引入拓展了高考数学命题范围，摆脱了对二次函数的依赖，使函数题型变得更加丰富多彩，高次函数、指数函数、对数函数等成为导数考查的重要载体，也是考查函数性质及数学思想方法、能力等重要载体。以后几年高考的导数题仍将突出导数的工具性、方法性的作用，在函数、数列、解析几何等主干知识的交汇处设计考题，承担命题创新的要求和任务。

导数的考查一般分3个层次：第一层次主要考查导数的几何意义、求导公式和求导法则；第2层次考查导函数的性质，如函数的最值、极值、单调性等；第3层次考查以导数为工具灵活综合应用数学知识的能力，如证明不等式、解决实际应用问题等。在考查题型上，上述第一、二层次一般设置在选择填空题，第三层次放在解答题。

例1．设函数f(x)?ax?b，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x?4y?12?0。

x（1）求f(x)的解析式；

（2）求证：曲线y?f(x)上任一点处的切线与直线x?0和直线y?x所围成的三角形面积为定值，并求此定值。 例2． 设函数f(x)?sinx。

2?cosx(1)求f(x)的单调区间；

(2)如果对任何x?0，都有f(x)?ax，求a的取值范围。 例3． 已知a是实数，函数f(x)=x(x-a)。

（1）若f′(1)=3,求a的值及曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

2

（2）求f(x)在区间[0，2]上的最大值。 例4． 已知函数f(x)?1?aln(x?1),其中n∈N*,a为常数。 n(1?x) （1）当n=2时，求函数f(x)的极值；

（2）当a=1时，求证：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1。

3．运用分类讨论思想解题透析

分类讨论思想是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学思想，这种数学思想对人的思维发展起着重要影响。它不但可以培养学生思维的条理性和概括性，而且有助于提高认识问题的全面性和深刻性、提高学生分析问题、解决问题的能力；落实到考试中还能体现“着重考查数学能力的要求”.因而分类讨论问题现已逐渐渗透到整个中学数学的每个章节，成为促进学生有效学习的热点问题和重点方法，由于这类问题综合性强，逻辑严密又富有探索性，自然也是学习和教学的难点。

面对学生在解题中遇到需要分类讨论问题的种种现实，分类计论思想的教学必须注意破解三个主要问题，即“何时用？如何用？怎么巧用？”，并从更高层次要求寻求如何避免分类讨论，不断提高解题的水平和能力。分类讨论思想的学习应用，关键是要理解其精髓，即做到收放自如的要求，既要会分类解之，又会避免分类合而解之。

近年来，高考中每一道题几乎都考虑到数学思想方法的运用，同时也检验了数学知识，分类讨论思想的考查往往深透在各种类型的题目中，故对数学解题思想方法的研究就更显得有现实意义，分类讨论作为一种重要的数学思想更显其地位的显著.预测在最近几年的高考中会有不俗的表现，其考查的落点可分布在选择、填空、解答之中，着力点可分散于小题中，也可集中体现于某一问题之间，因此不可小觑。

?例1．已知函数f(x)?2asin2x?23asinx?cosx?b的定义域为[0,]，值域为[?5,4].求a和b。

2?1，x?1? 例2．设k?R，函数f(x)??1?x，F(x)?f(x)?kx，x?R，试讨论函数F(x)的单调性。

??x?1，x≥1?例3．某班有两个课外活动小组，其中第一个小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张。 （1）两人都抽到足球票的概率是多少？

（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？

例4．随着机构改革的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元。据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员多创利0.01b万元，但．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的济效益，该公司应裁员多少人？

3，为获得最大的经44．函数与方程思想方法解题突破

本专题的主要内容是函数思想、方程思想及其应用，函数的思想方法是用联系变化的观点，将给定的数学问题转化为函数关系，即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，通过研究函数的图像与性质，加以分析，得出所需的结论.方程的思想方法，就是设出未知数，根据题中各量之间的关系，列出等式，沟通已知与未知的关系，从而解决问题。

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点.我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、立体几何与解析几何中的最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析和解决；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终比较大，近年还有进一步增加的趋势.且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.在浙江省高中新课标数学中，增加了函数与方程这一节内容，可见其重要。

在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式、讨论解的个数问题、数形结合解题等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、