2020高考数学第二轮专题复习：专题一 第一讲

此时1<3，也即f[g(x)]

此时3>1，即f[g(x)]>g[f(x)]，符合题意； 当x＝3时，f[g(x)]＝f[g(3)]＝f(1)＝1， g[f(x)]＝g[f(3)]＝g(1)＝3， 此时f[g(x)]

跟踪训练3 观察下列三角形数表：其中从第2行起，每行的每一个数为其“肩膀”上两数

之和，则该数表的最后一行的数为

( )

A．101×298 C．99×299 答案 A

解析 该数表共100行， 第2行的第1个数为3＝3×20， 第3行的第1个数为8＝4×21， 第4行的第1个数为20＝5×22， 第5行的第1个数为48＝6×23， ……

∴第100行的第1个数为101×298，故选A.

跟踪训练4 (2013·湖南)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、

横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

B．101×299 D．100×299

X Y 1 51 2 48 3 45 4 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量； Y 频数 51 48 45 42 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．

解 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下： Y 频数 51 2 48 4 45 6 42 3 所种作物的平均年收获量为

51×2＋48×4＋45×6＋42×3102＋192＋270＋126690

＝＝＝46.

151515

24

(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.

1515故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为

242

P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝. 15155四审式——数式结构找关系

数学问题中各种量的关系一般以关系式的形态出现，从关系式的角度分析也是我们最常用的方法，理解了关系式也就对各种量的本质联系有了清晰的认识．审题的基本要求是：挖掘关系式的内在特点；寻找已知条件和结论中式子的联系以及它们和一些公式间的联系，然后再转化．

batan Ctan C

例5 在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若＋＝6cos C，则＋abtan Atan B

的值是________．

ba

规范审题 已知条件＋＝6cos C中既有角，又有边，考虑到所求式子，可进行边角互

ab化．转化时，可使用余弦定理将cos C值表示出，将式子全部转化成边代入；也可以利用正弦定理对条件进行转化，得到角的关系式代入所求式子．

ba

解析 由＋＝6cos C，得b2＋a2＝6abcos C.

ab

tan Ctan C

化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，将＋切化弦，

tan Atan B

sin Ccos Acos Bsin Csin?A＋B?得·(＋)＝· cos Csin Asin Bcos Csin Asin Bsin Csin Csin2C＝·＝. cos Csin Asin Bcos Csin Asin B

sin2Cc2

根据正、余弦定理得＝ cos Csin Asin Ba2＋b2－c2ab·2ab

222c2c＝2＝4. 22＝a＋b－c322

c－c2答案 4

跟踪训练5 (2013·四川)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos B

3

－sin(A－B)sin(A＋C)＝－. 5

(1)求sin A的值；

→→

(2)若a＝42，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影． 解 (1)由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)

33＝－，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－. 55

33

则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.

554

又0

π

由题意知a>b，则A>B，故B＝. 4

3－?， 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c2－2×5c×??5?解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．

2→→→

故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝. 2五审理——字里行间皆有理

数学中的“理”，不仅仅是指常用的公式和原理，更是指我们经常讲的合情推理：根据已有的事实、结论或者实践的结果，以个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳和类比就是数学活动中常用的合情推理．在高考中该方面的问题有明显的增长趋势．有些问题很难直接和一般的知识点联系起来，考查的是综合应用数学知识解决问题的能力，有很强的区分度．

例6 随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了630万位的最大质数．某同学在学习中发现由41,43,47,53,61,71,83,97组成的数列中每一个数都是质数，他根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数．于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为质数．则这个通项公式为________，该同学断言是________的(填“正确”或者“错误”)．

规范审题 通过观察相邻两数之差成等差数列；根据发现的规律寻找通项公式，进行判断． 解析 根据题意知，通项公式an＝41＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n(n－1)＋41.取n＝41，

得an＝41×41＝1 681，显然不是质数，从而该同学断言是错误的． 答案 an＝n(n－1)＋41，n∈N* 错误

跟踪训练6 (1)如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，

D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 ( )

A．15 答案 B

解析 这是一道运筹问题，需要用函数的最值加以解决．设A→B的件数为x1(规定：当x1<0，则B调整了|x1|件给A，下同！)B→C的件数为x2，C→D的件数为x3，D→A的件数为x4，依题意可得x4＋50－x1＝40，x1＋50－x2＝45，x2＋50－x3＝54，x3＋50－x4＝61，从而x2＝x1＋5，x3＝x1＋1，x4＝x1－10，故调动件次f(x1)＝|x1|＋|x1＋5|＋|x1＋1|＋|x1－10|，画出图象(或绝对值的几何意义)可得最小值为16.

(2)(2012·北京)已知f(x)＝m(x－2m)·(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①?x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.则m的取值范围是________． 答案 －4

解析 将①转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0解集的子集求解； ②转化为f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空． ①中，若g(x)＝2x－2<0，则x<1. 又∵?x∈R，g(x)<0或f(x)<0， ∴[1，＋∞)是f(x)<0的解集的子集． 又由f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0知， m不可能大于或等于0，因此m<0. 当m<0时，f(x)<0，即(x－2m)(x＋m＋3)>0. 当2m＝－m－3，即m＝－1时， f(x)<0的解集为{x|x≠－1}，满足条件． 当2m>－m－3，即－12m或x<－m－3}．

1

依题意2m<1，即m<，∴－1

2当2m<－m－3，即m<－1时， f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>－m－3}． 依题意－m－3<1，即m>－4，∴－4

B．16

C．17

D．18