数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义（完整版）

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高中平面几何

叶中豪

学习要点

几何问题的转化

圆幂与根轴

P’tolemy定理及应用

几何变换及相似理论

位似及其应用

完全四边形与Miquel点

垂足三角形与等角共轭

反演与配极，调和四边形

射影几何

复数法及重心坐标方法

例题和习题

1．四边形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，且

求证：2EF=DE+DC。（10081902.gsp）

Asin?1?tan??????。sin?2θEDγB word版本

FC

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2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B弧

段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于Q点。求证：PQ2=PA×PB。（10092401-1. gsp）

AQPOO'B

3．设三角形ABC的Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR

的九点圆心分别为D，E，F，则三角形DEF为正三角形。（10082602.gsp）

ADERF

4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A

关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。求证：AP//BC。（10092102.gsp）

PGEABCBDCF

word版本

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5．圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，分

别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E，F。求证：AB、CE、DF共点。（10092201.gsp）

PECAFDO1BO2

6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD的垂线，

两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。求证：∠PQC=∠PQD。（10081601-26.gsp）

DPCA

7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交

AD于F。求证：DE=EF。（10083001.gsp）

AMQBFMECDB

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8．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是△ABC外一点，满足CE⊥AB，BE=BD。

过线段BE的中点M作直线MF⊥BE，交△ABD的外接圆的劣弧AD于点F。求证：ED⊥DF。（2010年女子竞赛）（10081601-4.gsp）

AFEMBD

9．设圆I1是△ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点，若I1D与EF交于

P点。求证：AP平分底边BC。（10082001-8.gsp）

ACFBPDMCEI1

10．如图，⊙O切△ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一点，AM

交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。（09031302.gsp）

ADNCMBO

11．已知：BC是圆上的定弦，而动点A在圆上运动，M是AC中点，作MP⊥AB

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