第5章《概率与数理统计》部分习题答案

第5章《概率与数理统计》部分习题答案

1.设X的概率分布为：

X Pk 0.3 0.2 0.6 0.8

试求p{|X?E(X)|?0.2} 解 `

E(X)?0.3?0.2?0.6?0.8?0.54E(X2)?0.32?0.2?0.62?0.8?0.306D(X)?E(X2)?E2(X)?0.306?0.542?0.0144p(|X?E(X)|?0.2)?1?3. 设{xn}为独立随机变量序列，且

D(X)0.0144?1??0.64.220.20.2??lnn lnn?Xn???, n?1,2,...,

? 0.5 0.5?证明{xn}服从大数定律. 解

E(Xi)??lnn?0.5?lnn?0.5?0E(Xi2)?lnn?0.5?lnn?0.5?lnnD(Xi)?E(Xi2)?E2(Xi)?lnn,i?1,2,... 1nlnnD(?Xi)??0.ni?1n故{xn}服从大数定律.

9. 设某系统由30个元件R1,R2,...,R30组成，若R1损坏R2立即启动，R2损坏R3立即启动，

...每个元件的寿命Xi(i?1,2,...,30)为服从参数??0.1的指数分布，且X1,X2,...,Xn相互

独立.求系统总寿命T超过350的概率.

解

Xi:e(0.1)1?10 0.11D(Xi)?2?100,i?1,2,...0.1E(Xi)?p(T?350)?p(?Xi?350)?1?p(?Xi?350)i?1i?13030?1?p(i?1?0.1814.?X30i?30?10?30?100350?30030)?1??()

630?10010. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量，平均每箱重50kg，标准差

5kg.若用最大载重量为5吨的卡车承运，利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977？

解 设每辆车最多可装n箱，才能保证不超载的概率大于0.977

E(Xi)?50D(Xi)?25,i?1,2,...nn

p(?Xi?5000)?p(i?1i?1?Xi?n?50?25?n5000?50n)5n

5000?50n)?0.9775n5000?50n?25nn?98.??(17. 某出租汽车公司有4000辆车参加保险，一年里出租车发生事故的概率为0．005，若出事故，保险公司最多赔付25万元，参保车辆每年交3000元保险．计算保险公司一年内在此项业务中，获得总收益在600万元到800万元之间的概率．

解 设一年里出租车发生事故的车辆为X,则收益在600万元到800万元之间为

X:B(4000,0.005)p(400?4000?0.3?25X?600)?p(16?X?24)

24?4000?0.00516?4000?0.005??()??()4000?0.005?0.9954000?0.005?0.995?0.6318.