2020年高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题04三角函数的应用文(含解析)

专题04三角函数的应用

一、本专题要特别小心：

1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减） 2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况

3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几 4.五点作图法的步骤 5.利用图象求周期 6.已知图象求解析式 二【学习目标】

1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．

2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 三．【方法总结】

1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f(－x)与f(x)的关系.

另外三角函数中的奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.

2.三角函数的单调性

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，比ππ

如：由2kπ－2≤ωx＋φ≤2kπ＋2(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间.

若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－

ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.

对函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等单调性的讨论同上.

(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：

(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B， (2)y＝A(sin x－a)2＋B，

(3)y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x(其中A，B，a，b∈R，A≠0，a≠0). 四．【题型方法】

1

（一）利用三角函数测量应用

例1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75?，30?，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )

A．C．【答案】B

B．D．

【解析】记A点正下方为O， 由题意可得OA?60，

，

，

在?AOB中，由，

得到；

在?AOC中，由

得到，

所以河流的宽度BC等于故选B

米.

练习1. 习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为

，他

2

沿着倾斜角为的斜坡向上走了40米后到达C，在C处测得山顶B的仰角为

在同一铅垂面）.参考数据：

.

，则山高约为______

米.（结果精确到个位， 【答案】

【解析】过C做CM⊥BD于M,CN⊥AD于N,设BM=h,则CM=,解得h=20(),∴BD=h+

（二）与圆有关的三角函数应用

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例2. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，?APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为

A．4β+4cosβ 【答案】B

【解析】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，

此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为??2?. 故选：B.

练习1．如图，四边形ABCD内接于圆O，若AB?1，AD?2，，则S△BCD的最大值为（ ） A．

2B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ 2?+S△POB+ S△POA=4β+ 2?7 4B．72 4C．

73 4D．

7 2【答案】C 【解析】

做DE?CB于点E，，

在直角三角形CDE中，可得到根据该四边形对角互补得到 在三角形ABD中，应用余弦定理得到

3

在三角形DCB中，

应用余弦定理以及重要不等式得到

进而得到 故答案为：C.

练习2.位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中

与地面垂直，垂足为点，某乘客从处进入处的观景舱，顺时针转动

（ ）

分钟后，第1次到达点，此时点与地面的距离为114米，则

A．16分钟 【答案】C

【解析】根据题意，作 直径为所以 则 所以，即所以

因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟 所以从A到B所需时间为分钟 所以选C

，则，

，

，如下图所示：

B．18分钟

C．20分钟

D．22分钟

练习3.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点

在半径为1的圆上，且

，分别以

各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和

构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________． 【答案】

M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤

+GF=

【解析】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为

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