新疆乌鲁木齐市第一中学2020届高考数学押题试卷含解析含解析〖加15套高考中考模拟卷〗

17、（1）单调递减（2）?【解析】 【分析】

2?a?0. 2e（1）将a??代入函数表达式，对函数求导，得到导函数的正负，进而得到单调性；（2）原题等价于函数h?x??1e1ax?1?lnx恰有两个零点，分a?0和a?0两种情况讨论函数的单调性，进而得到函数的变2化趋势，得到函数的零点情况. 【详解】

?1?由于f?x?的定义域为?0,???，且f'?x??ax?lnx,

设g?x??f'?x?，当a??时，g'?x??1e11? xe

11?f'?x??g?x??g?e????0.

ee所以f?x?在其定义域上单调递减

?2?若f?x?恰有两个零点，由于f?x?的定义域为?0,???，则函数h?x??1ax?1?lnx恰有

2两个零点.

当a?0时h?x?在?0,???上单调递增，不符合题意. 当a?0时，h'?x??11ax?2a?? 2x2x

22?2?2h由????0，得??e,可得?2?a?0.

ae?a?2??2?2?a?2?2e此时h?1???1?0.h??e? ??ee?ln?????1.

2?e?e?a?t令??t???e?lnt?t?1,?'?t?? ?e??1，当t?e2时，函数单调递减

t1t所以?'?t???'e????e22?1?1?0, 2e所以当t?e2时，??t?函数单调递减

?2?2?所以??t???e?lne?e?1?e?e?0，即h??ee??0

?e?e2223e2所以f?x?在其定义域上恰有两个零点时，故?【点睛】

2?a?0. e2这个题目考查了导数在研究函数的单调性和零点问题中的应用；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意变形时让含有自变量的函数式子尽量简单一些． 18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】 【分析】

（I）由面面垂直的性质定理得PF⊥平面ABCE，可得PF⊥BC，结合BC⊥OF，可得BC⊥平面POF； （II）建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量，通过计算法向量与（III）设【详解】

（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD中点，所以DA＝DE，即PA＝PE， 又F为AE的中点，所以PF⊥AE，又平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE＝AE， PF?平面PAE，所以PF⊥平面ABCE，BC?平面ABCE，所以PF⊥BC，

由F，O分别为AE，BC的中点，易知FO∥AB，所以OF⊥BC，所以BC⊥平面POF，

（Ⅱ）过点O做平面ABCE的垂线OZ，以O为原点，分别以OF，OB，OZ为x，y，z轴建立坐标系O﹣xyz， 则∴

，设平面PBC的法向量为

则

，令

的夹角得出线面角的正弦值；

；（Ⅲ）见解析

，计算λ的值得出结论．

由得，令z＝3得，

，

所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值.

（Ⅲ）在线段PE上不存在点M，使得AM∥平面PBC．证明如下： 点M在线段PE上，设若AM∥平面PBC，则由

得

则，

，解得λ＝2?[0，1] ，

,

所以在线段PE上不存在点M，使得AM∥平面PBC．

【点睛】

本题考查了面面垂直性质定理的应用和线面垂直的判定，向量法计算线面角和判定线面平行，属于中档题． 19、 (Ⅰ) 直线l的普通方程为y?x?3；曲线C的直角坐标方程为(x?a)2?(y?a)2?2a2；(Ⅱ) a?1. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)消去参数t得到直线的普通方程，利用?2?x2?y2，?cos??x，?sin??y可将曲线C的极坐标化为直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线l的参数方程，代入曲线C中，利用参数t的几何意义即可求得a值. 【详解】

??x?2??（Ⅰ）将??y??1???2t2（t为参数）消去参数t可得x?y?3?0， 2t2∴直线l的普通方程为y?x?3. 由??22acos???????2?，得??2?a?cos??sin??， 4?22222将??x?y，?cos??x，?sin??y代入上式，得x?y?2ax?2ay?0，

即?x?a???y?a??2a2，

∴曲线C的直角坐标方程为?x?a???y?a??2a2.

2222??x?2??（Ⅱ）将??y??1???2t222代入x?y?2ax?2ay?0中，整理得t2?2t?5?6a?0， 2t2设M，N两点对应参数分别为t1，t2，则t1?t2??2，t1t2?5?6a， ∵MN252?6PMPN，∴?t1?t2??6t1t2，又a?，

62∴t1t2?0，∴?t1?t2???6t1t2， ∴?t1?t2??2t1t2?0，即?2解得a?1，符合题意.

2??2?2?5?6a??0，

∴a?1. 【点睛】

本题考查直线的参数方程和简单曲线的极坐标方程的应用，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义. 20、（1）a?1. 2（2）g?x?在???,?4?和??1,0?内为减函数，在??4,?1?和?0,???内为增函数． 【解析】

2（1）对f?x?求导得f??x??3ax?2x，

因为f?x?在x??4?4?处取得极值，所以f?????0， 3?3?即3a?161?4?16a8?2???????0，解得a?； 9332?3??132?xgx???（2）由（1）得，?x?x?e，

?2?故g??x???5?32??1??1?x?2x?ex??x3?x2?ex??x3?x2?2x?ex

2?2??2??2??1x?x?1??x?4?ex， 2令g??x??0，解得x?0,x??1或x??4， 当x??4时，g??x??0，故g?x?为减函数， 当?4?x??1时，g??x??0，故g?x?为增函数， 当?1?x?0时， g??x??0，故g?x?为减函数， 当x?0时，g??x??0，故g?x?为增函数，

综上所知：???,?4?和??1,0?是函数g?x?单调减区间，

??4,?1?和?0,???是函数g?x?的单调增区间.

21、（Ⅰ）x?17.4；s2?6.92；（Ⅱ）（i）14.77；（ii）978． 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据频率分布直方图估计平均数的方法可直接求得x；利用方差计算公式s??xi?xhi?2可

2i?17??2求得样本方差；（Ⅱ）（i）根据3?原则可验证出P?x??????0.8414，求得????14.77即为结果；