第一章1.2.1平面的基本性质与推论教案学生版

§1.2 点、线、面之间的位置关系

1．2.1 平面的基本性质与推论

【学习要求】

1．理解平面的基本性质与推论．

2．能运用平面的基本性质及推论去解决有关问题．

3．会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质． 【学法指导】

通过桌面、黑板、地面等有形的实物，对平面有个感性认识，进而抽象出平面的概念及平面的基本性质及推论，感受我们所处的世界是一个三维空间，进而增强学习的兴趣，培养空间想象能力. 填一填：知识要点、记下疑难点

1．连接两点的线中， 线段 最短；过两点有 一条 ，并且只有 一条 直线．

2．平面基本性质1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线上的 所有点 都在这个平面内．这时我们说，直线在平面内或 平面经过直线 .

3．基本性质2：经过 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个平面．或简单说成： 不共线的 三点确定一个平面．

4．基本性质3：如果 不重合 的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 5．基本性质的推论：推论1 ：经过一条直线和 直线外的一点 ，有且只有一个平面； 推论2 ：经过两条 相交直线 ，有且只有一个平面； 推论3 ：经过两条 平行 直线，有且只有一个平面．

6．异面直线：既 不相交也不平行 的直线叫做异面直线．与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.

研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]

在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？ 探究点一 平面的基本性质

问题1 在初中我们学习的点与直线的基本性质有哪些？

问题2 生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？那么，平面的含义是什么呢？

问题3 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？

问题4 直线和平面都可以看成点的集体，那么点、直线、平面的位置关系怎样用集合的符号表示？

问题5 如何用符号语言表示基本性质1？基本性质1有怎样的用途？

问题6 生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？

问题7 如何用符号语言表示基本性质2？基本性质2有怎样的用途？

问题8 基本性质2中“有且只有一个”的含义是什么？

问题9 如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？

问题10 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？

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问题11 如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？

问题12 回顾第1.1节的内容，我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？

问题13 在画两个平面相交时，如果其中一个平面被另一个平面遮住，应该怎样处理才有立体感？

探究点二 空间中两直线的位置关系

问题1 空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．如果两条直线共面，那么两条直线有怎样的位置关系？

问题2 如图，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外，那么直线l与直线AB能不能在同一个平面内？为什么？直线l与直线AB的位置关系是怎样的？

小结： 我们把这类既不相交又不平行的直线叫做异面直线．

例1 如图中的△ABC，若AB、BC 在平面α内，判断AC 是否在平面α内？

小结： 要判断或证明直线在平面内，只需要直线上的两点在平面内即可．

跟踪训练1 求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面． 已知： a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证： 直线a、b、c和l共面．

例2 如图，正方体AC1中，对角线A1C和平面BDC1交于O，AC与BD交于点M，求证：点C1、O、M共线．

小结： 证明点共线问题常用方法：(1)先找出两个平面，再证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3从而判定他们都在交线上；(2)选择两点确定一条直线，再证另一点在这条直线上．

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跟踪训练2 空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，已知EF和GH相交于点M，求证：点B、D、M共线．

练一练：当堂检测、目标达成落实处

1．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作 ( ) A．M∈b∈β B．M∈b?β C．M?b?β D．M?b∈β 2．空间中可以确定一个平面的条件是 ( ) A．两条直线 B．一点和一直线 C．一个三角形 D．三个点 3．“a、b为异面直线”是指：

①a∩b＝?，且a b；②a?面α，b?面β，且a∩b＝?； ③a?面α，b?面β，且α∩β＝?；④a?面α，b?面α； ⑤不存在面α，使a?面α，b?面α成立． 上述结论中，正确的是 ( ) A．①④⑤正确 B．①③④正确 C．仅②④正确 D．仅①⑤正确

课堂小结：

1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．

2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．

3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线。

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