高等数学-第8章空间解析几何与向量代数

教学思路、主要环节、主要内容 二次曲面 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了了解三元方程F (x , y ,z )=0所表示得的曲面的形状，我们通常采用截痕法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。同学们可试用截痕法考察下面的二次曲面。 一、 椭球面 x2y2z2方程2?2?2?1所表示的曲面叫做椭球面，如果使用一个平行于坐标面的平面作截面abc教 学 法，就是使得一个变量取常数，直接代入，就可以很容易得看到，得到的是一个椭圆方程。 二、 抛物面 x2y2??z（p 和q 同号）所表示的曲面叫做抛物面，用垂直于Z轴的平面作截面，方程2p2q得到的是椭圆，用垂直于X，Y轴的平面作为截面，得到的是抛物线。 过 三、 双曲抛物面 程 x2y2??z（p 和q 同号）所表示的曲面叫做双曲抛物面或马鞍面，用垂直于Z方程?2p2q轴的平面作截面，得到的是双曲线，用垂直于X，Y轴的平面作为截面，得到的是抛物线。 四、 双曲面 x2y2z2方程2?2?2?1所表示的曲面叫做单叶双曲面，用垂直于Z轴的平面作截面，得到的是abc椭圆，用垂直于X，Y轴的平面作为截面，得到的是双曲线。 x2y2z2方程2?2?2??1所表示的曲面叫做双叶双曲面，用垂直于X轴的平面作截面，得到的abc是椭圆，用垂直于Z，Y轴的平面作为截面，得到的是双曲线。 利用截痕法分析二次曲面，并能绘制曲面所围成的立体图形。

章节 第八章空间解析几何与向量代数 §4 空间曲线及其方程 课时 2 教 学 目 的 了解空间曲线及其方程的概念，了解空间曲线的一般方程方程，空间曲线的参数方程，空间曲线在坐标面上的投影等概念。 教学 重点 及 突出 方法 求交线在坐标面上的投影。 教学 难点 及 突破 方法 交线在坐标面上的投影。绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相交构成的曲线的图形，求交线在坐标面上的投影（求以交线为准线的投影柱面）是学习多元函数微积分的基础. 双曲抛物面的图形，着重解决截痕法。 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 教学思路、主要环节、主要内容 8.4 空间曲线及其方程 一、空间曲线一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线。设 F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0 是两个曲面的方程，它们的交线为C。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组 ?F(x,y,z)?0 （1） ??G(x,y,z)?0教 反过来，如果点M不在曲线C上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标 学 过 程 不满足方程组（1）。因此，曲线C可以用方程组（1）来表示。方程组（1）叫做空间曲线C的一般方程。 ?x?x(t)?空间曲线的参数方程为 ?y?y(t) ,其中t为参数. ?z?z(t)?二、空间曲线在坐标上的投影 ?F(x,y,z)?0设空间曲线C的一般方程为? ?G(x,y,z)?0由上述方程组消去变量z，x，y后所得的方程分别为： H( x , y )=0 ，R( y , z )=0， T( x , z )=0 ?H(x,y)?0表示曲线C在xOy面上的投影, ?z?0??R(y,z)?0表示曲线C在yOz面上的投影, ??x?0?T(x,z)?0表示曲线C在xOz面上的投影。 ?y?0?加强交线在坐标面上的投影（求以交线为准线的投影柱面）及空间区域在坐标面上的投影区域的计算。

章节 第八章空间解析几何与向量代数 §5 平面及其方程 课时 2 教 学 目 的 了解平面及其方程的概念，掌握平面的点法式方程，一般式方程及两平面的夹角的概念 教学 重点 及 突出 方法 平面的点法式方程，截距式方程，三点式方程，一般式方程及两平面的夹角的概念。根据条件建立平面的方程 教学 难点 及 突破 方法 平面方程的求法及由给定的方程能迅速确定平面的位置和平面的特性。三元一次方程Ax+By+Cz+D=0中x,y,z前面的系数A,B,C是平面法线向量的坐标，一些特殊的三元一次方程读者应熟悉它们的图形。学习中读者应经常注意空间解析几何与平面解析几何之间的联系与不同。 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P32-P40 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P418-P424