高等数学-第8章空间解析几何与向量代数

章节 第八章空间解析几何与向量代数 §2数量积、向量积 混合积 课时 2 教 学 目 的 掌握向量的数量积 向量积的概念，熟练掌握数量积、 向量积的运算及性质 教学 重点 及 突出 方法 向量数量积、 向量积的运算及性质 教学 难点 及 突破 方法 数量积、向量积的定义及计算。向量与数量是两个不同的概念。向量的运算是既有大小（模）又有方向的运算，这是与数的运算（只有大小）不相同的。学习中，我们要注意数量积、向量积、混合积的定义，不要将数的一些运算规律随意用到向量中．但对几何向量，我们没有定义除法运算。同样，对向量的运算，式子a?b无意义。数的乘法只有一种，其结果还是数，而向量的乘法有多种，例如，数量积、混合积的结果是数，向量积的结果是向量。 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P19-P29 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P402-P417 教学思路、主要环节、主要内容 8．2 数量积 向量积 一、 向量的数量积： 两个向量a和b的数量积（点积，内积）为一个数abcos?，记作：a?b?abcos? ?，其中??(a,b)为向量a与向量b之间的夹角并且0????。 特别是a?a?a，因此我们可以把a?a简记为a。 22如果向量a={ax,ay,az}，b?{bx,by,bz}则a?b?axbx?ayby?azbz。 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， 由a?b?abcos? 教 所以cos??a?bab?axbx?ayby?azbza?a?a2x2y2zb?b?b2x2y2z 学 两个向量垂直的充分必要条件是a?b?0。 数量积满足交换率，分配律及结合率 二.向量的向量积 过 两个向量a与b的向量积（叉积，外积）是一个向量， 程 它的模为absin?，它的方向是垂直于a和b，并且构成右手系， 记作a?b。a?b=absin?正好是以a和b为两边的平行四边形的面积。 i...j...k如果向量a={ax,ay,az}，b?{bx,by,bz}则a?b=ax..ay..az bx..by...bzaxayaz两向量平行的充分必要条件为a?b=0，即a//b?a?b=0即?? bxbybz也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。 向量积满足b?a=-a?b及分配律，结合率。 解题时注意运用数量积与向量积的特点及几何意义，在讨论夹角与垂直问题时用数量积来解决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。注意向量的平行、垂直关系及角度。利用向量求面积、体积，可以以向量为工具进行证明并补充一些习题。

章节 第八章空间解析几何与向量代数 §3 曲面及其方程 课时 4 教 学 目 的 了解曲面及其方程的概念，了解旋转曲面，柱面的有关概念， 了解用截痕法分析二次曲面的形状，讨论几个特殊的二次曲面。 教学 重点 及 突出 方法 旋转曲面，柱面的方程， 椭球面、抛物面、双曲抛物面、双曲面的方程及图形。 教学 难点 及 突破 方法 能根据点的轨迹（较简单情形）建立曲面的方程，会求旋转曲面，柱面的方程。形如f(x,y)=0的方程，在空间解析几何中它的图形是柱面；在平面解析几何中，它的图形是平面曲线．例如x2+y2=0， 在空间表示两个平面x=0,y=0的交线，即z轴；但在平面解析几何中，x2+y2=0 仅表示原点。 相关 参考 资料 《高等数学（第二册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社P78-P80 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，P427-P431 教学思路、主要环节、主要内容 8.3 曲面及其方程 一、曲面方程的概念及一般方程 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)=0 (1) 有下述关系： 1. 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1)； 2. 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)， 那末，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。 教 学 过 二、两类常见的曲面 1、柱面 设有动直线L沿一给定的曲线C移动，移动时始终与给定的直线M平行，这样由动直线L所形成的曲面称为柱面，动直线L称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。 2、旋转面 设有一条平面曲线C，绕着同一平面内的一条直线L旋转一周，这样由C旋转所形成的曲面称为旋转面，曲线C称为旋转面的母线，直线L称为旋转面的轴。 三、几种特殊的曲面方程 程 1. 旋转曲面方程 ?f(x,z)?022设平面曲线C:?绕z轴旋转,则旋转曲线方程为 f(?x?y,z)?0 ?y?02. 柱面方程 母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如F(y, z)=0就表示母线平行与x轴,准线为??F(y,z)?0的柱面. ?x?03. 二次曲面方程