2020版高考数学大一轮复习-圆锥曲线的综合问题-最值、范围、证明问题讲义（理）（含解析）新人教A版

第8节 圆锥曲线的综合问题

考试要求 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的综合问题的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.

知 识 梳 理

1.求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题

(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.

(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 3.求解范围问题的方法

求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围. 4.圆锥曲线中常见最值的解题方法

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. 5.圆锥曲线的弦长

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝1＋k|x1－x2|

＝1＋k·（x1＋x2）－4x1x2 ＝

1

1＋2·|y1－y2|＝222k121＋2·（y1＋y2）－4y1y2. k[微点提醒]

1.直线与椭圆位置关系的有关结论(供选用) (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；

1

(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论(供选用)

(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；

(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；

(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.( ) (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.( ) (4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t|y1－y2|.( )

解析 (2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.

(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√

2.(选修2－1P71例6改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

2

2

解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条；直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0). 答案 C

3.(选修2－1P69例4改编)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________.

2

2

解析 法一 直线l的方程为y＝3x＋1， 由?

?y＝3x＋1，2

得y－14y＋1＝0. 2

?x＝4y，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14， ∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.

法二 如图所示，过F作AD的垂线，垂足为H，则|AF|＝|AD|＝p＋|AF|sin 60°，即|AF|＝

2

＝.

1－sin 60°1－sin 60°

p2

同理，|BF|＝，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝16.

1＋sin 60°

答案 16

4.(2019·浙江八校联考)抛物线y＝ax与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则( ) A.x3＝x1＋x2 C.x1＋x2＋x3＝0

2

2

B.x1x2＝x1x3＋x2x3 D.x1x2＋x2x3＋x3x1＝0

??y＝ax，kb2

解析 由?消去y得ax－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，令kx＋b＝0得

aa?y＝kx＋b，?

bx3＝－，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.

k答案 B

x2y2

5.(2019·唐山市五校联考)直线l与双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线

ab段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( ) A.3

B.2

C.3

D.2

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，把A，B两点坐标分别代入双曲线的方程，得

??

?xy??a－b＝1，

2

22222x2y211

2－2＝1，ab 3

（x1＋x2）（x1－x2）（y1＋y2）（y1－y2）

两式相减得－＝0， 22

abx＋xx＝，??2xy（y－y）又?所以＝，

ab（x－x）y＋y??y＝2，

1

2

0

0

2

02

1

2

1

2

1

2

0

b2y0（y1－y2）b22

所以2＝＝kOMkl＝1，所以e＝1＋2＝2，

ax0（x1－x2）a又e>1，所以e＝2. 答案 D

6.(2019·潍坊二模)已知抛物线y＝ax(a>0)的准线为l，l与双曲线－y＝1的两条渐近

4线分别交于A，B两点，若|AB|＝4，则a＝________.

1x12

解析 抛物线y＝ax(a>0)的准线l：y＝－，双曲线－y＝1的两条渐近线分别为y＝x，

4a42

2

2

2

x2

2

1111?1?1

y＝－x，可得xA＝－，xB＝，可得|AB|＝－?－?＝4，解得a＝.

22a2a2a?2a?41答案

4

第1课时 最值、范围、证明问题

考点一 最值问题

多维探究

角度1 利用几何性质求最值

【例1－1】 设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)＋y＝1和(x－4)＋

259

x2y2

222

y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )

A.9，12 B.8，11 C.8，12 D.10，12

解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.

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