2013版高考数学一轮复习精品学案：7.2空间点、线、面之间的位置关系

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【高考零距离】

1、（2012·安徽高考文科·Ｔ15）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB?CD，

AC?BD，AD?BC，则________(写出所有正确结论编号)。 ①四面体ABCD每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD每个面的面积相等

③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180 ④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分

⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【解题指南】作出立体图，根据点线面的位置关系判断.

【解析】可将四面体ABCD放回长方体内，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为，则①需要满足，才能成立；②因为各个面都是全等的三角形（由对棱相等易证）；正四面体的同一顶点处三个角之和为180，事实上各个面都是全等的三角形，对应三个角之和一定恒等于180，③显然不成立；④可由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断其正确性；每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立. 答案：②④⑤

2. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ19）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，

1

∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点

2

(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

C1

B1 A1 D

【解题指南】（1）证两个平面垂直，可转化为在其B 中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直，要

C DC1 ?平面BCD；

证平面BDC1⊥平面BDC，可证

A B?ADC1C为四

（2）平面BDC1分棱柱下面部分

棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体

积，从而确定两部分体积之比。 解:(I)由题设可知又

。。x,y,zx?y?zBC?CC1,BC?AC,CC1AC?C,所以BC?平面ACC1A1.

BC?C,

DC1?平面ACC1A1,所以DC1?BC.

?A1DC1??ADC?45?,所以?CDC1?90?,即DC1?DC.又DC由题设知

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DC1?平面BDC.又DC1?平面BDC1,故平面BDC1?平面BDC.

B?DACC1的体积为V1,AC?1.由题意得

(II)设棱锥

11?21V1???1?1?322

ABC?A1B1C1?V-V1?:V1=1:1V=1所以又三棱柱

的体积

,所以

.

1分此棱柱所得两部分体积的比为1:1. 故平面

3．（2012·辽宁高考文科·T18）(12分)

BDC如图，直三棱柱ABC?ABC，?BAC?90，

///AB?AC?2,AA′=1，点M，N分别为A/B和B/C/的中点。

// (Ⅰ)证明：MN∥平面AACC;

(Ⅱ)求三棱锥A?MNC的体积。

/1（椎体体积公式V=3Sh,其中S为地面面积，h为高）

【解题指南】由中点联想到中位线，据中位线和底边平行，解决问题；通过变换顶点，将三棱锥转化为底面积和高已知或易求的形式，求得体积 【解析】（1）连结AB?,AC?,由已知M为AB?的中点，N为B?C?的中点，所以MN为三角形AB?C?的中位线，故MN∥AC?,又MN?平面A?ACC?，AC??平面A?ACC?， 因此MN平面A?ACC?

（2）连结BN,由题意，A?N⊥B?C?,平面A?B?C?平面B?BCC??B?C?,

1VA??MNC?VN?A?MC?SA?MC?h3所以A?N?平面B?BCC?,即A?N?平面NBC,故 1111V?V?V?V???SNBC?A?N????A?MNCN?AMCN?ABCA?NBCA?MCA?BC2223又,所以

因为?BAC?90,BA?BC?2,所以BC?B?C??2 S?1S2SNBC?111BC?BB???2?1?1,A?N?B?C??1222，

NBC?A?N?11VA??MNC?VN?A?MC???S23所以16

4．（2012·广东高考文科·Ｔ18）

如图5所示，在四棱锥P?ABCD中，

AB?平面PA,DAB//CD,PD?AD,E是PB1DF?AB2的中点，F是CD上的点，且,PH为

?PAD中AD边上的高。

（1）证明：PH?平面ABCD；

taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区 ，AD?（2）若PH?12，FC?1，求三棱锥E?BCF的体积； （3）证明：EF?平面PAB.

【解题指南】 （1）证明线面垂直利用判断定理需证线线垂直，本小题易证：

AB?PH,PH?AD.

(2)解决本小题的关键是由（1）知BD?AC，再结合矩形ABCD，进而确定四边形ABCD是正方形。

然后可以利用空间向量法也可以利用传统方法找（或做）出二面角的平面角求解即可. (3)解决本题的第一个难点是证AB?EF,通过取AB的中点M，证AB?平面EFM即可。 第二个难点是证EF?PB，需证PF?BF，进一步需证：Rt?FMB?Rt?PDF即可。 【解析】(1)

AB?平面PAD,PH?平面PAD,

?AB?PH,又PH?AD且AD?PH?平面ABCD

AB?A

11112V三棱锥E?BCF?V三棱锥P?BCF????1?2?1?223212. （2）

DF\\\\(3)连接PF，HF，取AB的中点M连接FM，EM，因为E为PB的中点，

ＥＭ//PA,

?1AB2,所以

四边形EFMA为平行四边形，所以FM//AD,又因为AB?平面PAD,所以

AB?AD,AB?PA,

所以AB?FM,AB?EM,且EMFM?M,所以AB?平面EFM,所以AB?EF。

AB?B，

又因为CD//AB,所以CD?平面PAD,CD?PD，所以Rt?FMB?Rt?PDF, 所以PF?BF，又因为E为PB的中点，所以EF?PB,又PB所以EF?平面PAB. 5．（2011·辽宁高考理科·Ｔ8）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是 (A) AC⊥SB

(B) AB∥平面SCD

(C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 【思路点拨】先逐项分析，再判断结论． 【精讲精析】选D.

选

具体分析 结论 项

四棱锥S-ABCD的底面为正方形，所以AC⊥BD，又SD⊥底面ABCD，A 正确

所以SD⊥AC，从而AC⊥面SBD，故AC⊥SB． B 由AB∥CD，可得AB∥平面SCD． 正确

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C D

选项A中已证得AC⊥面SBD，又SA=SC，所以SA与平面SBD所成的

正确 ?SAC?SCA角等于SC与平面SBD所成的角

AB与SC所成的角为?SCD，此为锐角，而DC与SA所成的角即AB不正

确 与SA所成的角，此为直角，二者不相等．

6．（2011·浙江高考理科·Ｔ4）下列命题中错误的是

（A）如果平面?⊥平面?，那么平面?内一定存在直线平行于平面? （B）如果平面?不垂直于平面?，那么平面?内一定不存在直线垂直于平面?

???（C）如果平面?⊥平面，平面?⊥平面，????l，那么l⊥平面

（D）如果平面?⊥平面?，那么平面?内所有直线都垂直于平面? 【思路点拨】本题考查空间线面的垂直关系.

【精讲精析】选D.如果平面?⊥平面?，那么平面?内垂直于交线的直线都垂直于平面?，其它与交线不垂直的直线均不与平面?垂直，故D项叙述是错误的．

7．（2011·江苏高考·Ｔ16）如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD

【思路点拨】本题证明的线面平行和面面垂直，解决的关键是根据线面平行和面面垂直的判定定理寻找需要的条件，注意要把所需的条件摆充分. 【精讲精析】

(1) 在?PAD中，因为E,F分别是AP,AD的中点，所以EF//PD，又因为EF?平面

PCD,PD?平面PCD,所以直线EF//平面PCD.

??BAD?60AB?AD(2)连结BD.因为，，所以?ABD为等边三角形.因为F分别是AD的

中点，所以BF?AD.因为平面PAD?平面ABCD，BF?平面ABCD,又因为

平面PAD?平面ABCD?AD,所以BF?平面PAD.又因为BF?平面BEF，所以平面BEF?平面PAD.