2013版高考数学一轮复习精品学案：7.2空间点、线、面之间的位置关系

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（1）利用定义（常用反证法）；

（2）利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；

?//?????//?.?//??（3）利用面面平行的传递性：

??l????//???l?（4）利用线面垂直的性质：。

※例题解析※

〖例〗如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长为4，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点，求证：平面A1EF//平面BCGH

思路解析：本题证面面平行，可证明平面A1EF内的两条相交直线分别与平面BCGH平行，然后根据面面平行判定定理即可证明。

解答：ΔABC中，E、F分别为AB、AC的中点，∴EF//BC。又∵EF?平面BCGH，BC?平面BCGH，∴EF//平面BCGH。又∵G、F分别为A1C1，AC的中点，∴A1GFC。∴四边形A1FCG为平行四边形。∴A1F//GC。又∵A1F?平面BCGH，CG?平面BCGH，∴A1F//平面BCGH。又∵A1F∩EF=F，∴平面A1EF//平面BCGH （三）直线与平面平行的性质及应用

〖例〗如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大。

//

思路解析：先利用线面平行的性质，判定截面形状，再建立面积函数求最值。 解答：∵AB//平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH，∴AB//FG，AB//EH，∴FG//EH，同理可证EF//GH，∴截面EFGH是平行四边形。设AB=a,CD=b,∠FGH=α（α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角）。

xCGyBG?,?,又设FG=x.GH=y,则由平面几何知识可得aBCbBC

xyb??1,即y?(a?x)a两式相加得ab bbsin?SEFGH?FGGHsin??x(a?x)sin??x(a?x).aa∴

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∵x?0,a?x?0且x?(a?x)?a为定值，

bsin?absin?ax(a?x)?x?42，∴当且仅当x?a?x时，a取最大值，此时即当截面EFGH

的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时，截面面积最大。

注：利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线平行的转化。在平时的解题过程中，若遇到线面平行这一条件，就需在图中找（或作）过已知直线与已知平面相交的平面。这样就可以由性质定理实现平行转化。至于最值问题，常用函数思想解决，若题目中没有涉及边长，要大胆地设未知量，以便解题。 （四）平面与平面平行的性质及应用 ※相关链接※

平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化归的思想。三种平行关系如图：

性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。 ※例题解析※

〖例〗已知，平面α//平面β，AB、CD夹在α、β之间，A、C∈α，B、D∈β，E、F分别为AB、CD的中点，求证：EF//α，EF//β

思路解析：通过作辅助平面，利用面面平行得到线线平行，再证线面平行。

解答：当AB和CD共面时，经过AB、CD的平面与α、β分别交于AC、BD。∵α//β，∴AC//BD。又∵AE=EB，CF=FD，∴EF//AC。∵AC?α，EF?α，∴EF//α，同理EF//β，当AB和CD异面时，如图：

在CD现E所确定的平面内，过点E作C‘D’//CD与α、β分别交于点C‘、D’。经过相交直线AB和C‘D’作平面分别交α、β于AC‘、BD’。∵α//β，∴AC‘//BD’，又AE=EB，∴C‘E=ED’。∵C‘D’//CD，∴经过C‘D’和CD作平面与α、β分别交于C‘C和D’D。∵α//β，∴C‘C//D’D。

在平面四边形C‘D’DC中，∵C‘E=ED’，CF=FD，∴EF// D’D。∵D’D?β，EF?β，

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∴EF//β，同理EF//α。

三、直线、平面垂直的判定及其性质 （一）直线和平面垂直的判定和性质 ※相关链接※

证明直线和平面垂直的常用方法有： （1）利用判定定理；

（2）利用平行线垂直于平面的传递性

（3）利用面面平行的性质 （4）利用面面垂直的性质。

当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直。 ※例题解析※

〖例〗如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA=450，求证：MN⊥平面PCD。 思路解析：

解答：如图，取PD的中点E，连接AE，NE。

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（二）平面与平面垂直的判定 ※相关链接※

证明面面垂直的主要方法是：①利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论。②用定义证明。只需判定两平面所成二面角为直二面角。③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。

面面垂直的判定综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如图，

其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.

※例题解析※

〖例〗如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，

AEAF?ACAD=λ(0<λ<1). E、F分别是AC、AD上的动点，且

(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；

(2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由.