实变函数复习手册

D、若?fn(x)?在E上基本上一致收敛于f(x)，则fn(x)a,e收敛于f(x)。 13、下列说法正确的是（） A、f(x)?secx在?0,??????上无界； B、在f(x)?secx??0,?上有限 4???4?????secx,x?0,?????2?,在?0,??上有限；

C、f(x)????2?????,x????2????secx,x?0,?????2?,f(x)??????1,x??D、在?0,?上有界；

?2???214、函数列fn(x)?3x在?0,?上（）于0. 3A、收敛 B、一致收敛 C、基本上一致收敛 D、a,e一致收敛

3??x,x?E15、设E是[0，1]上的不可测集，f(x)??3,则下列函数在[0，1]可测的是

???x,x??0,1??Enn?1???（）。

A、f(x) B、f(x) C、f(x) D、|f(x)|

16、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（）

A、它们是同一概念； B、a,e有限的可测，是连续函数； C、a,e有限是可测函数是基本上连续的函数； D、a,e有限的可测函数是a,e连续的函数。 17、下列说法正确的是（） A、f(x)???11?1?0,1,1?无界 在有限； B、在f(x)???2x2x2????1?,x??0,1?,在?0,1?上有限； C、f(x)??x2????,x?0D、

?1?,x??0,1?在?0,1?上有界；

f(x)??x2,??1,x?0n18、函数列fn(x)?sinx在?0,???上（）于0. ??2? 13

A、收敛 B、基本上一致收敛 C、一致收敛 D、a,e一致收敛

2???x,x?E19、设E是[0，1]上的不可测集，f(x)??2,则下列函数在[0，1]可测的是

??x,x??0,1??E（）。

A、|f(x)| B、f(x) C、f(x) D、f(x)

20、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）

A、简单函数一定是可测函数；B、简单函数列的极限是可测函数；C、简单函数与可测函数是同一概念；D、简单函数列的极限与可测函数是同一概念 21、下列说法正确的是（） A、f(x)???1?1?1在无界； B、在?0,1?有限； ,1f(x)???x3?2?x3?1?,x??0,1?,在?0,1?上有限； C、f(x)??x3????,x?0?1?3,x??0,1?,在?0,1?上有界； D、f(x)??x??1,x?022、函数列fn(x)?cosx在?0,n???上（）于0. ??2?A、基本上一致收敛 B、收敛 C、一致收敛 D、a,e一致收敛

?sinx,x?E???????,则下列函数在?0,?可23、设E是?0,?上的不可测集，f(x)??????2??2???sinx,x??0,2??E???测的是（）。

A、f(x) B、|f(x)| C、f(x) D、f(x) 24、关于依测度收敛，下列说法不正确的是（）

A、依测度收敛不一定一致收敛；B、依测度收敛不一定收敛；C、若?fn(x)?在E上a,e收敛于一个a,e有限的可测函数f(x)，则fn(x)?f(x)；D、若fn(x)?f(x)，则存在子列?fn(x)?a,e收敛于f(x)。

25、下列函数在?0,???上几乎处处为正的是（）

A、f(x)?sinx；B、f(x)?lnx；C、f(x)?cos(2?x)；D、f(x)??

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????1,x?Q

1,x?Q?二、填空题

1、设f(x)是定义在可测集E?Rn上的实函数，若?a?R，有（），则称f(x)在E上可测。

2、fn(x)?f(x)的定义为（）。

3、?a,b?上的连续函数及单调函数都是（）。 4、叶果洛夫定理反映了（）与（）的关系。 5、可测集E?Rn上的连续函数都是（）。

6、可测函数列的极限是（）。

7、实变函数中的函数连续性是数学分析中函数连续性的（）。 8、几乎处处是与（）有关的概念。

9、E上的简单函数，指的是对E进行有限不变可测分解后，每一个可测子集上都取（）的函数。

10、鲁金定理反映了（）与（）的关系。

11、两个可测函数的四则运算（假定它们都有意义）结果为（）。

??1,x??0,n?12、函数列fn(x)??在(0,??)不一致收敛于且不（）收敛于1.

0,x?(n,??)??三、判断题

1、若f(x)?g(x)，a,e于E，f(x)在可测集E上可测，则g(x)也在E上可测。（） 理由：（）

2、若f(x)在可测集E上可测，则E(f???)也可测。（） 理由：（）

3、若mE???，且fn?f，limfn(x)?f(x),a,e于E。（）

n??理由：（）

4、若f(x)在可测集E上可测，则f(x)在E的任意可测子集上也可测。（） 理由：（）

5、若f(x)在可测集E上可测，则f(x)在E的任意子集上可测。（） 理由：（）

6、若?r?Q,E(f?r)都可测，则f在可测集E上也可测。（） 理由：（）

7、设E为可测集，f,g在E上可测，则E(f?g)可测。（） 理由：（）

8、黎曼函数可测。（）

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理由：（） 四、证明题

1、设f(x)在E?[a,b]上，a,e有限的可测函数，则对于任何??0,??0存在连续函数

g(x)，使mE(f?g??)??。

2、设函数列?fn(x)?在E上依测度收敛于f(x)，且fn(x)?g(x)，a,e于E，n?1,2,...,则f(x)?g(x)在E上a,e成立。

3、设函数列?fn(x)?在有界集E上基本一致收敛于f(x)，证明fn(x)在E上a,e收敛于

f(x)。

4、证明，若fn?f，fn?g，则f?g在E上a,e成立。 5、设E?(0,??)，fn(x)?1n，n?1,2,...,f(x)?，试证明fn(x)?f(x)。

x(n?1)x6、设E?(0,??)，fn(x)?x?五、简单题

1，n?1,2,...,f(x)?x，证明：fn(x)?f(x)。 nx，n?1,2,...,不测度收敛于f(x)?x。 n1、请说明：在E?(0,??)上函数列fn(x)?x??1,x?[0,1]?Q2、用可测函数的定义说明犹里克雷函数D(x)??在[0,1]可测。

0,x?[0,1]?C?3、若f(x)在可测集E上可测，则?c?R，cf(x)在E上也可测。

第五章 积分论

在数学分析中遇到的函数大部分是连续函数，它们在有界闭区间上是黎曼可积函数。但黎曼可积函数不能满足科学发展的需要，在1902年法国数学家Lebesgue成功地引入了一种新的积分，即L积分，大大地扩充了可积分函数的范围，成为分析数学中不可缺少的工具。在本章中将详细给出L积分的定义及性质。 §1 黎曼积分

了解黎曼积分的定义和三个R可积的充要条件。本节不作为考核内容。 §2 勒贝格积分的定义

掌握有界函数在有界可测集上L积分的定义、性质及充要条件；了解R积分与L积分的关系；利用R积分与L积分的关系；利用定理4求一些函数的L积分。 §3勒贝格积分的性质 熟练掌握L积分的性质。 §4 一般可积函数

掌握非负可测函数和一般可测函数L积分的定义及性质；会计算一些函数的积分，熟记L积分的性质。

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