平面向量及其应用教学案-高考文科数学考纲解读word详解

【变式探究】【2017北京，文12】已知点P在圆x2?y2=1上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则AO?AP的最大值为_________． 【答案】6 【解析】

所以最大值是6.

→→

【举一反三】(2015·山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60° ，则BD·CD＝( ) 3232 3232

A．－a B．－aC.a D.a

2442

→→

【变式探究】(2015·安徽，8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是( ) A．|b|＝1 C．a·b＝1

B．a⊥b

→

D．(4a＋b)⊥BC

解析 由于△ABC是边长为2的等边三角形； →→→→→→→

∴(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，即(AB＋AC)·CB＝0， →→

∴(4a＋b)⊥CB，即(4a＋b)⊥BC，故选D. 答案 D

【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．

→→→→

【变式探究】(2015·四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，→

DN＝2NC，则AM·NM＝( )

A．20 B. 15

C．9 D．6

→→→

→→3→

解析 AM＝AB＋AD，

4→

NM＝CM－CN＝－AD＋AB，

1→→→→1→→

∴AM·NM＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)

412＝

11→2→222

(16AB－9AD)＝(16×6－9×4)＝9，选C. 4848

→→

1→

41→3

答案 C

题型三、平面向量基本定理及其应用

例3．（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是 A. ?1 B. +1 C. 2 D. 2? 【答案】A

2

【解析】设由因此

得

的最小值为圆心

到直线

，则由得

的距离

减去半径1，为

选A.

，

【变式探究】【2017江苏，16】 已知向量 （1）若a∥b,求x的值；

（2）记f(x)?a?b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 【答案】（1）x?【解析】 （1）因为

，

，a∥b，

5π5π（2）x?0时， f?x?取到最大值3； x?时， f?x?取到最小值?23. 66

所以.

矛盾，故cosx?0.

若cosx?0，则sinx?0，与

于是.

又x?0,π，所以x???5π. 6

【举一反三】(2015·湖南，8)已知点A，B，C在圆x＋y＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，→→→

则|PA＋PB＋PC|的最大值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9

→→→22

解析 由A，B，C在圆x＋y＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆直径，故PA＋PC＝2PO＝(－4，0)，设B(x，y)，→→→→→→→22

则x＋y＝1且x∈[－1，1]，PB＝(x－2，y)，所以PA＋PB＋PC＝(x－6，y)．故|PA＋PB＋PC|＝－12x＋37，∴x＝－1时有最大值49＝7，故选B. 答案 B

→【变式探究】在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足OQ＝2(a＋b)．曲→→

线C＝{P|OP＝acos θ＋bcos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0

B．1

2

C．r≤1

→→→→

解析 由已知可设OA＝a＝(1，0)，OB＝b＝(0，1)，P(x，y)，则OQ＝(2，2)，曲线C＝{P|OP＝(cos θ，

→2222

sin θ)，0≤θ<2π}，即C：x＋y＝1，区域Ω＝{P|0

2

2

2

2

答案 A

【举一反三】(2015·江苏，6)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．

???2m＋n＝9，?m＝2，解析 ∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即?解得?

???m－2n＝－8，?n＝5，

故m－n＝2－5＝－3. 答案 －3