第四讲 Schur不等式、Schur分拆

高二数学竞赛班二试讲义

第四讲 Schur（舒尔）不等式、Schur（舒尔）分拆

一、知识要点：

班级 姓名

定理1．Schur不等式：若x?0,y?0,z?0，?为实数，则 当且仅当x?y?z或x?0,y?z的置换时，等号成立。

?x?(x?y)(x?z)?0，

证明：由对称性可假定x?y?z，令x?t1?t2?t3，y?t2?t3，z?t3， 其中，t1,t2,t3是非负实数，

则左端?x(x?y)(x?z)?y(y?z)(y?x)?z(z?y)(z?x) ?(t1?t2?t3)t1(t1?t2)?(t2?t3)t2(?t1)?t3t2(t1?t2) ?(t1?t2?t3)t1?[(t1?t2?t3)?(t2?t3)?t3]t1t2?t3t2?0 定理2．Schur不等式推广：若x?0,y?0,z?0，k为非负实数，则

?2????2???????(yz)(x?y)(x?z)?0；

（2）?x(y?z)(x?y)(x?z)?0； （3）?(yz)(y?z)(x?y)(x?z)?0． 证明：（1）?(yz)(x?y)(x?z)?0?(xyz)?x （1）

kkkkk?k(x?y)(x?z)?0成立

（2）由对称性可假定x?y?z，令x?t1?t2?t3，y?t2?t3，z?t3， 其中，t1,t2,t3是非负实数，

则左端?x(y?z)(x?y)(x?z)?y(z?x)(y?z)(y?x)?z(x?y)(z?y)(z?x)

k?(t1?t2?t3)k(t2?2t3)t1(t1?t2)?(t2?t3)k(t1?t2?2t3)t2(?t1)?t3(t1?2t2?2t3)t2(t1?t2)kkkk2?(t1?t2?t3)k(t2?2t3)t12?t3t2(t1?2t2?2t3)?[(t1?t2?t3)(t2?2t3)?(t2?t3)(t1?t2?2t3)?t(t1?2t2?2t3)]t1t2?0 分0?k?1和k?1讨论可证明①

（3）同理可证

定理3．三元齐三次对称多项式f(x,y,z)可以唯一的表示为

kkk3①

) f(x,y,z?其中g3.1? g3.2a3.g1?b3g.?2cg， 3z) ，

?x(x?y)(x?z)， ??(y?z)(x?y)(x? g3.3?xyz

?0 并且当x,y,z时，a,b,c?0?f(x,y,z?) 0先给出系数a,b,c,d的简单确定方法：a?f(1,0,0),b?f(1,1,0),c?f(1,1,1) 2定理4．三元齐四次对称多项式f(x,y,z)可以唯一的表示为

)ab4gc4g?d g f(x,y,z?，4.g1?.?2.3 其中g4.1? g4.2 g4.3

?x(x?y)(x?z)，

??x(y?z)(x?y)(x?z)， ??yz(x?)y(?x，)z

21

g4.4?xyz(x?y?z)

并且当x,y,z?0时，a,b,c,d?0?f(x,y,z)?0． 先给出系数a,b,c,d的简单确定方法：

f(1,1,1)c?f(?1,0,1) ,b?a?34定理5．三元齐五次对称多项式f(x,y,z)可以唯一的表示为

)ab5gc5g?d?g f(x,y,z? g5.g1?.?2.35.4，ea?f(1,0,0),c?f(1,1,0),d? 其中g5.1? g5.2 g5.3 g5.4?x(x?y)(x?z)，

??x(y?)z(x?y)(?x，z) ??y(zy?)z(?x)y(?x，)z ?xy?z(?x)y(?x )z32 g5.5?xyz(xy?yz?zx)

并且当x,y,z?0时，a,b,c,d,e?0?f(x,y,z)?0． 先给出系数a,b,c,d的简单确定方法（i为虚数单位）：

f(1,1,0)f(1,1,1)f(1,i,0)cf(?1,i,1)i?8b?e?2a ,e?,b??,d?232(1?i)22定理6．三元齐六次对称多项式f(x,y,z)可以唯一的表示为

)ab6gc6g?d?ge?g6.5m?g6， f(x,y,z?6.g1?.?2.36.4.6 nga?f(1,0,0),c? 其中g6.1? g6.2?x(x?y)(x?z)，

??x(y?z)(x?y)(43?x，z)

2)(y?z)(z?x g6.3?(x?y ) g6.4? g6.5 g6.622x，z) ?(yz)(x?y)(??xyz?x(x?y)(x?z)

?xyz?(y?z)(x?y)(x?z)

2 g6.7?(xyz)

并且当x,y,z?0时，a,b,c,d,e,m,n?0?f(x,y,z)?0． 先给出系数a,b,c,d的简单确定方法（i为虚数单位）：

2a?f(1,0,0),d?f(1,1,0),n?f(1,1,1)?f(0,?1,1)?4a?4b?4c?d由?，将a,d代入解得b,c

f(0,1,i)i?2a?2b?2c?d??f(?1,1,1)?4a?8b?4d?4e?8m?n由?，将a,b,c,d,n代入解得e,m ?f(?1,1,i)?2a?16c?6d?6e?8m?n二、例题精析

例1．已知x,y,z是非负实数，且满足x?y?z?1。证明： 0?xy?yz?zx?2xyz?

7（第25届IMO） 272

例2．已知x,y,z是正实数，且满足abc?1。证明：

(a?1?)(b?1?)(c?1?)?1（第41届IMO）

例3．设a,b,c是正实数，且满足abc?1。证明：

例4．设正实数a,b,c满足a?b?c?1．证明：

1b1c1a1113 ???333a(b?c)b(c?a)c(a?b)2(?b?c)?9a(?b?c)?1，中国西部奥林匹克） 10a（2005

例5．设x,y,z是正实数．证明： (xy?yz?zx)?

333555?111?9????4（1996，伊朗数学奥林匹克） 222(x?y)(y?z)(z?x)??

3

例6．设正实数x,y,z满足xyz?1．证明：

x5?x2 5?22x?y?zy5?y2?252y?z?x5z?z2?x2?z5（第46届IMO） ?02y

222例7．设正实数x,y,z满足x?y?z?1，g?x?y?z?xyz?1． 求证：g的最小值为1．

三、精选习题

1．设x,y,z,m,k是正实数，且k?m．证明：

x2?y2?z2?

m(xy?y?z)zx8xyzm?k?．

(k?x)(?yy)?(zz)xmk2221112(x3?y3?z3)2．设x,y,z是正实数．证明：(x?y?z)(2?2?2)?3?．

xyzxyz(y2?z2)(z2?x2)(x2?y2)(xy?yz?zx)33．设x,y,z是非负实数．证明：． ?8274．设x,y,z是正实数，且满足x?y?z?1．证明：

2221119???． 1?xy1?yz1?zx24．提示：f(x,y,z)?3g6.1?2g6.2?7g6.3?4g6.4?9g6.5?2g6.6

?g6.1?7g6.3?2g6.4?5g6.5?2?x2(x?y)2(x?z)?2?yz(x?y)2(x?z)?0

5．设x,y,z是非负实数．证明：

223(x?y?z)6459x2y2z2222222?(x?xy?y)(y?yz?z)(z?zx?x)?

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