随机振动讲义全文

H?????Hm?????T (4-48)

000??H1?????0H?00??2? (4-49) Hm??????00.0???000H?????n??代入响应的自功率谱密度矩阵公式

Sx????H*???Sf???HT??????H?????Sf?????Hm?????*???Hm????T?Sf?????THm?????*mTTT (4-50)

例4-3：对如图示系统，

经受强震作用，强震阶段的水平分量常视为零均值平稳高斯随机过程。其地面加速度功率谱，经常使用卡耐-塔基米（Kanai-Tajimi）模型，其加速度功率谱密度函数为：

[1?4a2(?)2]S0b Sxg(?)?222?2?[1?()]?4a()bb其中a, b为与土层特性有关的量，S0为一常数。分析结构的随机响应自功率谱密度函数矩阵，并计算上层结构的均方响应。 解：系统运动控制方程为

?m1x1?c1x1?c1x2?k1x1?k1x2?F1 ??m2x2?c1x1?(c1?c2)x2?k1x1?(k1?k2)x2?F2?m10??x1??c1?c2??x1??k1?k2??x1??F1??0m??x????cc?c??x????kk?k??x???F? ?2??2??112??2??112??2??2?其中

F1??m1xg,F2??m2xg

为运算方便取：

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m2?2m1?m，k2?2k1?k，c2?2c1?c

方程两边都乘以2得

?10??1?1??1?1??1?M??m,C?c,K?k,F????mxg ??????02???13???13??2?K?M?2?0??k2k22?1?,?2?,?1??2mm???2??1??3m? 6m??,?2???1??1????6m??3m???[?1,?2]

将方程利用振型矩阵模态分解得

Mmq?Cmq?Kmq??TF(t)

其中

Mm??TM??I c?120?CM??C???2?m??0?Tk?120?TkM??k????2m??0?可以得到模态坐标下的频率响应函数矩阵

?H(?)0? Hm(?)??1?H2(?)??0Hr(?)?1 r?1,2 2kr???jcr?H1(?)?

kc2???j?2m2m1 H2(?)?2k2c??2?j?mm1激励的自相关函数矩阵

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?Rf1f1(?)Rf1f2(?)?Rf(?)???E[F(t)FT(t??)]??Rff(?)Rff(?)??2122???1??E[????1,?2?m2xg(t)xg(t??)]

?2???12??m2??Rxg(?)24??所以有激励的自谱密度函数矩阵

?12?Sf(?)?m??Sxg(?)

?24?2代入（4-50）有

*Sx(?)?[?Hm(?)?T]Sf(?)[?THm(?)?]Sxg(?)?S11(?)S12(?)????9?S21(?)S22(?)?*2S11?16H12?4H1*H2?4H2H1?H2*2S12?8H12?4H1*H2?2H2H1?H2

S21?7H?HH2?4HH1?H21*1*222

*2S22?3.5H12?H1*H2?2H2H1?H2计算 m1的位移响应均方差

?x2?Rxx(0)?1?Sx1x1(?)d??111??2?

S(?)1?xg?S11d????2?9该积分较为复杂，可用留数定理或者数值积分进行计算。

4.5 随机响应分析的虚拟激励方法

线性系统受到自谱密度为Sf???的单点平稳激励f?t?，并假设作用在任意的第j个自由度上，则在任意的第i个自由度上的响应xi?t?的自谱计算按前述公式有

Sxi????Hij????Sfj??? （4-51） 此外，我们还知道，当激励力为ei?t时稳态响应为

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2 xi?t??Hij????ei?t （4-52） 构造一个虚拟激励（pseudo-excitation）

fj?t??Sfj????ei?t （4-53）

Sfj???是关于?的实函数，与t无关，故可看作一个常数，则由（4-52）

式可得在这个虚拟激励作用下，响应为

xi?t??Sfj????Hij????ei?t （4-54） 对（4-54）式求共扼

* xi*?t??Sfj?????Hij????ei?t??Sfj???Hij????e?i?t （4-55）

*（4-54）与（4-55）相乘得

x?t?xi?t??Sfj????Hij??? （4-56）

*i2由（4-51）式可知，上式虚拟响应与虚拟响应共扼的乘积即为在fj?t?作用下第i个自由度上响应的功率谱密度函数，即：

xi*?t??xi?t??Sxi??? （4-57）

这就给响应的自谱计算提供另外一条道路，计算系统在式（4-53）的虚拟激励作用下的响应，将响应的计算结果取其模值的平方，即为系统真实的待求响应的功率谱密度函数。

对照单输入问题的分析公式有：

*xi*?t?fj?t??Sfj????Hij????e?i?t?Sfj????ei?t

*?Sfj???Hij????Sxifj??? （4-58）

fj*?t??xi?t??Sfj????e?i?t?Sfj???Hij????ei?t

?Sfj????Hi? ??Sjf?ix?? （4-59）j?*x1?t?x2?t??Sfj????H1*j????e?i?t?Sfj???H2j????ei?t

?H1*j????Sfj????H2j????Sx1x2??? （4-60）

*x2?t??x1?t??Sfj????H2*j????e?i?t?Sfj???H1j????ei?t

* ?H1j????Sfj????H2（4-61） j????Sx2x1???

用矩阵形式表示有：

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