随机振动讲义全文

第四章 多自由度系统的随机响应分析

4.1 多自由度系统的脉冲响应函数、频率响应函数

多自由度系统的运动控制方程为：

Mx?Cx?Kx?F(t) (4-1)

M是正定阵，C，K正定或半正定阵，C为比例阻尼阵，F(t)为外力向量。通过

广义特征值分析，或者称模态分析得n个特征值以及对应的n个特征向量，分别称为多自由度系统的前n阶固有频率（?1,?2,...?n）和固有振型（?1,?2,...?n），由n阶振型向量可以构成如下振型矩阵

??{?1,?2,...?n} (4-2)

它关于质量阵M，刚度阵K正交，利用它可做模态分解，即引入模态坐标qr，并作变换

x??q??qr?r (4-3)

r?1n其中

?r?{?1r,?2r模态分解后得到：

?nr}T (4-4)

. . . (4-5) mrqr?crq?krqr?fr r?1,2,n其中 ，由于

??1T??f1??T??f??????f??TF?{?1,?2...?n}TF??2?F??2? (4-6)

??????T???fn???n?得

fr??rTF (4-7)

为了得到多自由度系统的单位脉冲响应函数，首先在任意的第j个自由度上施加单位脉冲力?j(t)，此时有：

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fr??rTF?{?1r,?2r?0????????nr}??j(t)???jr?j(t) (4-8)

??????0??在该激励作用下，系统（4-5）的响应为：

?jr???tqr?esin?drt (4-9)

mr?drrr由（4-3）得系统在第j个自由度上单位脉冲激励作用下，全部自由度上的响应为

??jr?1r??x1(t)??x(t)?nn?????2??jr2r?1?x(t)?q??e??r?rtsin?drt (4-10) ??????rrr?1r?1????mr?dr???xn(t)????jr?nr??其中第i个自由度的响应为：

?ir?jr????hij(?)??esin?dr? (4-11)

m?r?1rdrnrr对全部n个自由度，依次施加单位脉冲激励，便可以得到一个响应矩阵，该矩阵就定义为多自由度系统的单位脉冲响应函数矩阵，它是一个方阵。

从另外一个角度，就是从模态分解以后的方程(4-5)可知，该单自由度系统的单位脉冲响应函数为：

hr(t)?1mr?dre??r?r?sin?dr? (4-12)

则根据杜哈梅积分有：

qr(t)??回带到物理坐标有：

????hr(?)fr(t??)d???nn????hr(?)?rTF(t??)d? (4-13)

x(t)??qr?r???r?hr(?)?rTF(t??)d?r?1r?1T?????即令

?????h(?)?rrr?1nn (4-14)

rF(t??)d?h(t)???rhr(?)?rT (4-15)

r?1 42

由于?r是振型矩阵的第r列，注意到公式（4-4），上式表达的矩阵的任意一个元素的表达式也为（4-11）。这样由多自由度系统的单位脉冲响应函数矩阵，可得任意自由度上的响应，计算公式的形式与单自由度一样，只不过原变量成了矩阵与向量。

与单位脉冲响应函数矩阵对应,定义多自由度系统频率响应函数矩阵H(?)，其中任意一个元素为：

Hij(?)???ir?jr (4-16) 2r?1kr?mr??jcr?n因为x(t)?h(t)?F(t)?X(?)?H(?)F(?)，即Hij(?)是hij(t)的傅立叶变换。

4.2单输入问题的MDOF系统的随机响应

对MDOF系统，在任意第j个自由度施加随机激励力fj(t)，得到第i个自由度上的响应为xi(t)，关注他们之间的关系,由(4-14)和(4-15)可得：

x(t)??h(?)F(t??)d??????h11(?),...,h1n(?)??0??????????????hi1(?),...,hin(?)??fj(t??)?d????????????hn1(?),...,hnn(?)??0??????h1j(?)fj(t??)?????????hij(?)fj(t??)?d?????????h(?)f(t??)??njj?? (4-17)

所以有

xi(t)??hij(?)fj(t??)d? (4-18)

???Xi(?)?Hij(?)Fj(?) (4-19)

这样,由上两式可知，单输入的多自由度问题的响应计算公式与单自由度的响应计算公式形式上完全一样，因此随机响应分析公式的表达式形式就与单自由度问

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题的完全一样，可直接利用，只不过把其中的x(t)换成xi(t)、f(t)换成fj(t)、h(?)换成hij(?)，H(?)换成Hij(?)即可，既有： 1) 均值

1?x????h???d??H?0??ijijf (4-20)

i2?j??2) 自相关函数

Rxi????E??xi?t?xi?t??????E????????f??j?t??1?hij??1?d?1???fj?t????2?hij??2?d?2????E?????????????fj?t??1?fj?t????2?hij??1?hij??2?d?1d?2??? ???????????E??fj?t??1?fj?t??1????1??2???hij??1?hij??2?d?1d?2???????????Rfj????1??2?hij??1?hij??2?d?1d?23) 自谱函数

Sxi????S2fj????Hij??? 4) 互相关函数

Rfjxi????E??fj?t?xi?t??????E???ft????j???fj?t????1?hij??1??d?1????E??????fj?t?fj?t????1?hij??1?d?1????? ??????E??fj?t?fj?t????1???hij??1?d?1??????Rfj????1?hij??1?d?1?Rfj????hij???Rxifj????E??xi?t?fj?t??????E????????fj?t??1?hij??1?d?1fj?t???????E????????fj?t??1?fj?t???hij??1?d?1??? ??????E??fj?t??1?fj?t?????hij??1?d?1??????Rfj????1?hij??1?d?15) 互谱函数

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(4-21)

(4-22)

(4-23) (4-24)