2019届中考数学专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明

专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明

类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】

如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__．

图Z12－1 经典母题答图

【解析】 如答图，连结OC.

∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2， ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.

【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直． 【中考变形】

[2019·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小； (2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．

图Z12－2

解：(1)如答图①，连结AC，

∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，

∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°， 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°；

中考变形答图① 中考变形答图②

(2)如答图②，连结AD，

在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，

∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°， ∵∠ADC＝∠ABC＝50°，

∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°. 【中考预测】

[2019·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P. (1)求证：AP＝AB；

(2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．

图Z12－3 中考预测答图

解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC， ∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，

∴∠OBA＝90°，∴∠ABP＋∠OBC＝90°， ∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，

∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵∠APB＝∠CPO， ∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；

(2)如答图，作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中，∵OB＝4，AB＝3， ∴OA＝32＋42＝5，∵AP＝AB＝3， ∴PO＝2.

在Rt△POC中，PC＝OC2＋OP2＝25， 11

∵2PC·OH＝2OC·OP， OP·OC45PC＝5，

85

∴CH＝ OC2－OH2＝5， ∴OH＝

165

∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝5，

16565

∴BP＝BC－PC＝5－25＝5. 类型之二 与切线的判定有关的计算或证明 【经典母题】

已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．

图Z12－4 经典母题答图

证明：如答图，连结OB，

∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°， ∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°， ∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.

∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°， ∴AB⊥OB，又∵OB为⊙O半径，∴AB是⊙O的切线．

【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”． 【中考变形】

1．[2019·黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.

(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；

(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．

图Z12－5 中考变形1答图

解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上， ∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5， ∴由勾股定理，得AC＝4； (2)证明：如答图，连结OC， ∵AC是∠DAB的平分线， ∴∠DAC＝∠BAC，

又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA， 又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，

∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°， ∴直线CD是⊙O的切线．

2．[2019·南充]如图Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F. (1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．