2016年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题08 立体几何（含解析）

解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.

7.证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理.已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式（如勾股定理）证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直． 2典型例题：

例1已知a,b是两条不同直线，?是一个平面，则下列说法正确的是（ ） A．若a//b．b??，则a//? B．若a//?，b??，则a//b C．若a??，b??，则a//b D．若a?b，b⊥?，则a//? 【答案】C 【解析】

例2平面?//平面?，直线a//?，直线b??，那么直线a与直线b的位置关系一定是 （ ）

A．平行

B.异面

C.垂直

D.不相交

分析：由于面面平行以及直线垂直平面可得两直线垂直关系.

解析：由于平面?//平面?，直线b??，所以a?平面?，又因为直线a//?，所以b?a.故选C.

【练一练提升能力】

1. 设m,n是两条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（ ）

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A．若m??,???，则m?? B．若m//?，m??，则??? C．若???,???，则??? D．若????m,????n，则?//? 【答案】B 【解析】

试题分析：A中如果m是?,?的交线时，m??不成立，A错；B中，由于m//?，因此平面?内存在与m平行的直线n，又m??，则n??，所以???，B正确；让一本书的书脊与桌面垂直，则书里每页纸所在平面都是与桌面垂直，但它们之间不垂直，C错；三棱柱的两个侧面与第三个侧面都相交，但这两个侧面也相交，D错．故选B．

2. 如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．

【答案】①②④

【背一背重点知识】 1.直线与平面所成的角

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

直线与平面所成的角

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（2）线面角?的范围：??[0,【讲一讲提高技能】 1必备技能：

?2].

直线与平面所成的角的范围是[0,?2].求线面角方法:

①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积，省去垂足,

在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用sin??h进行求解.

斜线段长③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：cos??cos?1cos?2，如图所示：

?ABC??,?ABO??1,?OBC??2.其中?1为直线AB与平面所成的线面角.这个公式在

求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. ④万能方法，空间向量求解不用找角

设AB是平面?的斜线，BO是平面?的垂线，AB与平面?所成的角?BAO??,向量AB与

????????AB?nn的夹角?ABO??，则sin??cos?????. ?AB?n注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有???；

D A C B

? （3）确定点的射影位置有以下几种方法：

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①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；

③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；

④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：

a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；

b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；

c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 2典型例题：

例1如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1 中，AB?BC?2，AA1?1，则BC1与平面

BB1D1D错误！未找到引用源。所成角的余弦值为（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D 【解析】

例2已知正四棱柱ABCD?A中，AA1?2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦1B1C1D1 16