2016年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题08 立体几何（含解析）

名称 圆柱 圆锥 圆台 球 S侧 S全 2?rl ?rl ??r1?r2?l 2?r?l?r? ?r?l?r? 12?rh 3??r1?r2?l???r12?r22? 4?R2 1?h?r12?r1r2?r22? 34?R3 3V ?r2h (即?r2l) 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1,r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径. 7.空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形. 他具体包括：

（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度； （2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度. 三视图画法规则

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐，长对正：主视图与俯视图的长应对正，宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

【讲一讲提高技能】 1.必备技能：

（1）解决三视图问题的技巧：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”．也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”．

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（2） 求体积常见方法

①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.

求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥?三棱柱?平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等. （3）求体积常见技巧

当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．

①几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．

②几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．

③有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素． （4）组合体的表面积和体积的计算方法

实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差．

[易错提示] 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多

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算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和．

（5）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.

（6）求解几何体体积的策略及注意问题

(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系． (2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．

(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．

(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征． 1.典型例题：

例1圆台上、下底面面积分别为?、4?, 侧面积是6?, 这个圆台的高为 分析：本小题主要涉及圆台侧面积公式，解直角三角形的知识. 【解析】

例2一个正方体的内切球O1、外接球O2、与各棱都相切的球O3的半径之比为（ ） （A）1:3:2 （B）1:1:1 （C）1:3:2 （D）1:2:3 【答案】C 【解析】

试题分析：设正方体的棱长为1，那么其内切球的半径

13，外接球的半径（对角线的一22半），与各棱都相切的球的半径

2（面对角线的一半），所以比值是1：3：2，故选C． 27

【练一练提升能力】

1. 一个4?4?h的长方体能装卸8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则h的最小值为 （ ）

A．26?2 B．27?2 C．42?2 D．8 【答案】B 【解析】

，2. 点A,B,C,D均在同一球面上，且AB、AC、AD两两垂直，且AB?1 AC?2， AD?3 ,则该球的表面积为（ ）

A．7? B．14? C．【答案】B

【解析】以A为顶点构造长方体，则该球为长方体的外接球，故

7?714? D． 232R?AB2?AC2?AD2=14，所以R?

14，从而球的表面积为14?． 2异面直线所成的角

【背一背重点知识】 1.异面直线所成的角

（1）定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a'?a,b'?b，把a'与b'所成的小于或等于90.叫做异面直线a与b所成的角. （2）范围：(0,0?2]

【讲一讲提高技能】

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