全国各地2015年中考数学试卷解析分类汇编(第1期)专题37操作探究

（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.

（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a?2, b?3, c?4时满足a

【考点】三角形三边关系；列举法的应用；尺规作图. 【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形. （2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a?2, b?3, c?4，再作图： ①作射线AB，且取AB=4；

②以点A为圆心，3为半径画弧；以点B为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C； ③连接AC、BC.

则?ABC即为满足条件的三角形.

4. （2015?浙江衢州,第21题8分）如图1，将矩形上的点形

处，然后将矩形展平，沿沿

折叠，此时顶点

； ，求

和

的长.

折叠，使顶点恰好落在

沿落在折痕

折叠，使顶点

上的点

落在处，再将矩

上的点处，如图2.

（1）求证：（2）已知

【答案】解：（1）证明：由折叠知：∵由矩形∴

.

知：

，

.

（2）如答图， ∵∴由折叠知：∴∵又∵

由（1）可得，∴∴

，∴，

， .∴

.

.

∴

， .

. .

，

【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；等腰直角三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质．

【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得（2）判断

；由

得

. 和

证明

都是等腰直角三角形，即可，由

，得到

，从而由

求得求

5， （2015岳阳第23题10分）

已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．

（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： PA=PB ．

（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA?PB=k?AB．

考点： 几何变换综合题．.

分析： （1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可．

（2）首先过C作CE⊥n于点E，连接PE，然后分别判断出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△PAC∽△PBE，即可判断出PA=PB仍然成立． （3）首先延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出AF?BP=AE?BF，再个AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PA?PB=2k．AB，所以PA?PB=k?AB，据此解答即可． 解答： 解：（1）∵l⊥n， ∴BC⊥BD，

∴三角形CBD是直角三角形， 又∵点P为线段CD的中点， ∴PA=PB．

（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下： 如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，

，

∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点， ∴PD=PE，

又∵点P为线段CD的中点， ∴PC=PD， ∴PC=PE； ∵PD=PE，

∴∠CDE=∠PEB， ∵直线m∥n， ∴∠CDE=∠PCA， ∴∠PCA=∠PEB，

又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n， ∴l∥CE， ∴AC=BE，

在△PAC和△PBE中，

∴△PAC∽△PBE， ∴PA=PB．

（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，

，

∵直线m∥n， ∴， ∴AP=PF，

∵∠APB=90°， ∴BP⊥AF， 又∵AP=PF， ∴BF=AB；

在△AEF和△BPF中，

∴△AEF∽△BPF， ∴，

∴AF?BP=AE?BF，

∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB， ∴2PA?PB=2k．AB，