微分方程方法及应用

微分方程方法及应用

300多年前，由牛顿和莱布尼兹所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然．

§1微分方程：某些物理过程的数学模型

1.1 物体冷却过程的数学模型

将某物体放置于空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为u0?150c，10分钟后测量得温度为u1?100c，我们要求决定此问题u和时间t的关系，并计算20分钟后物体

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的温度．这里我们假定空气的温度保持为ua?24c． 解：为了解决上述问题，需要了解一些热力学的基本规律：

1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的； 2. 在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例（牛顿冷却定律）

设物体在时刻t的温度为u?u(t)，则温度的变化速度以

du来表示．注意到热量总是从温度高的物体向温度低dt的物体传导的，因而u0?ua，所以温差u?ua恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度此由牛顿冷却定律得到：

du??k(u?u0) dtdu恒负．因dt这里k?0是比例常数． 方程的解：将方程改写成 量

u和t可以”分离”开来．两边同时积分，得到：

d(u?ua)??kdt的形式，这样变u?ua~ ln(u?ua)??kt?c2

~是任意常数，对两边取对数，得到： 这里的cu?ua?e?kt?c

~令c?ec，得到：u?ua?ce?kt

将t?0时，u?u0代入可以得到：c?u0?ua 再根据条件t?10,u?u1，可以得到：k?所以：u?24?126e?0.051t 1.2数学摆

数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m的质点M，在重力的作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周运动，我们要确定摆的运动方程：

1u0?ualn?0.051 10u1?ua~

解：设取逆时针运动方向作为计算摆与铅垂线所成的角?的正方向．质点M沿圆周的切向速度v可以表示为

v?ld?．作用于质点M的重力mg将摆拉回到平衡位置；dt3

我们将重力可以分解为两个分量，一个沿这线的方向，此方向的力正好和线的拉力相抵消，它不会引起质点速度的改变，第二个分量沿圆周的切线方向，它引起质点速度的变化．

摆的运动方程是： mdv??mgsin? dtd2?g即： 2??sin?

ldt

如果只研究摆的微小振动时，即当?比较小时的情况，sin???，此时可以得到微小振动时摆的运动方程：

d2?g???0 2ldt如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿着摆的运动方向就会存在一个与速度v成比例的阻力，如果阻力系数为?，则摆的运动方程变为：

d2?g?d?????0 2lmdtdt如果沿着摆的运动方向恒有一个外力F(t)作用与它，这时摆的运动称为强迫微小振动，其方程为：

d2?g?d?1????F(t) 2lmdtmldt当要确定摆的某一特定的运动时，我们应该给出摆的

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