2020高考数学大一轮复习坐标系与参数方程2第2讲参数方程练习(理)(含解析)(选修4_4)

第2讲 参数方程

[基础题组练]

1．在直角坐标系xOy??x＝2＋t，

中，直线l1的参数方程为?(t为参数)，直线

?y＝kt?

l2的参数方

x＝－2＋m，??

程为?m(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

y＝??k(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y1

＝(x＋2)．

ky＝k（x－2），??

设P(x，y)，由题设得?1

y＝（x＋2）.??k消去k得x－y＝4(y≠0)．

所以C的普通方程为x－y＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．

2

2

2

2

2

2

2

?ρ（cosθ－sinθ）＝4，

联立?

?ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0

得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 19122

故tan θ＝－，从而cosθ＝，sinθ＝，

31010

代入ρ(cosθ－sinθ)＝4得ρ＝5，所以交点M的极径为5.

??x＝cos θ2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为?(θ为

?y＝sin θ?

2

2

2

2

222

参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O的直角坐标方程为x＋y＝1. π

当α＝时，l与⊙O交于两点．

2

2

2

- 1 -

当α≠

π

时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当2

?2??π，π?或α∈?π，3π?.

＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈??42??22?4??????1＋k?

?π3π?综上，α的取值范围是?，?.

4??4

?x＝tcos α，π3π

(2)l的参数方程为?(t为参数，＜α＜)．

44?y＝－2＋tsin α设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝＋1＝0.

于是tA＋tB＝22sin α，tP＝2sin α.

tA＋tB2

，且tA，tB满足t－22tsin α2

?x＝tPcos α，

又点P的坐标(x，y)满足?

?y＝－2＋tPsin α，

所以点P的轨迹的参数方程是

2

?x＝sin 2α，?2π3π

(α为参数，＜α＜)． ?4422

y＝－－cos 2α??22

3．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝22cos?

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)已知直线l过点P(1，0)且与曲线C交于A，B两点，若|PA|＋|PB|＝5，求直线l的倾斜角α.

?π－θ?.

?

?4?

?π?2

解：(1)由ρ＝22cos?－θ?＝2(cos θ＋sin θ)?ρ＝2(ρcos θ＋ρsin

?4?

θ)?x2＋y2＝2x＋2y?(x－1)2＋(y－1)2＝2.

故曲线C的直角坐标方程为(x－1)＋(y－1)＝2. (2)由条件可设直线l－2tsin α－1＝0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝2sin α，t1t2＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）－4t1t2＝4sinα＋4＝5，

2

2

2

2

??x＝1＋tcos α，的参数方程为?(t为参数)，代入圆的方程，有

?y＝tsin α?

t2

- 2 -

11π5π

解得sin α＝或sin α＝－(舍去)，故α＝或.

22664．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C??x＝3cos α，

的参数方程为?(α为参

?y＝2sin α?

数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝π??4sin?θ－?.

6??

(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；

π?π?(2)若过点A?22，?(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN4?3?|AP|

的中点为P，求的值．

|AM|·|AN|

解：(1)由题意可得曲线C的普通方程为＋＝1，

94

??x＝ρcos θ，将?代入曲线?y＝ρsin θ?

x2y2

C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为

ρ2cos2θ9

＋

ρ2sin2θ4

＝1.

π??因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin?θ－?，

6??π?1?3??2

所以ρ＝4ρsin?θ－?＝4ρ?sin θ－cos θ?，

6??2?2?又ρ＝x＋y，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以x＋y＝23y－2x， 所以曲线C的极坐标方程为2x－23y＝0.

2

2

2

2

2

ρ2cos2θρ2sin2θ9

＋4

＝1；曲线D的直角坐标方程为x＋y＋

22

(2)点A?2?

?

??x＝2π?

2，?，则?4?

??y＝2

π

2cos＝2，

4

所以A(2，2)．

π

2sin＝2，

4

π

x＝2＋tcos ，??3π

因为直线l过点A(2，2)且倾斜角为，所以直线l的参数方程为?(t3π

??y＝2＋tsin 3312

为参数)，代入＋＝1可得，t＋(8＋183)t＋16＝0，

944

设M，N对应的参数分别为t1，t2，

x2y2

- 3 -

32＋72364

由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝－，t1t2＝，

3131|AP|

所以＝＝|AM|·|AN||t1t2|

?t1＋t2??2???4＋93

16

.

[综合题组练]

1

x＝2＋t，?2?

1．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?(t为

3

y＝2＋t??2参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为

ρsin2θ＋4sin θ＝ρ.

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点M在直角坐标系中的坐标为(2，2)，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，

B，求|MA|·|MB|的值．

1

x＝2＋t，?2?

解：(1)由?消去参数t可得y＝3

y＝2＋t??2

3(x－2)＋2，

所以直线l的普通方程为3x－y＋2－23＝0.

因为ρsinθ＋4sin θ＝ρ，所以ρsinθ＋4ρsin θ＝ρ. 因为ρsin θ＝y，ρ＝x＋y， 所以曲线C的直角坐标方程为x＝4y.

1x＝2＋t，?2?13

(2)将?代入抛物线方程x＝4y中，可得(2＋t)＝4(2＋t)，即t＋(8－

223

??y＝2＋2t2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

83)t－16＝0.

因为Δ>0，且点M在直线l上，

所以此方程的两个实数根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2，所以t1t2＝－16，

所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝16.

2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2

?x＝－2＋t，?2

C：ρsinθ＝2acos θ(a>0)，直线l：?(t为参数)．

2y＝t??2

2

- 4 -