高中数学讲义微专题29 图像变换在三角函数中的应用

微专题29 图像变换在三角函数中的应用

在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如y?Asin??x???的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。 一、基础知识：

（一）图像变换规律：设函数为y?f?x?（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换：

（1）f?x?a?：f?x?的图像向左平移a个单位 （2）f?x?a?：f?x?的图像向右平移a个单位 （3）f?x??b：f?x?的图像向上平移b个单位 （4）f?x??b：f?x?的图像向下平移b个单位 2、函数图像的放缩变换：

（1）f?kx?：f?x?的图像横坐标变为原来的

1（图像表现为横向的伸缩） k（2）kf?x?：f?x?的图像纵坐标变为原来的k倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）f?x?：f?x?在x轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y轴

对称的图像

（2）f?x?：f?x?在x轴上方的图像不变，x轴下方的部分沿x轴向上翻折即可（与原x轴下方图像关于x轴对称）

（二）图像变换中要注意的几点：

1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？

在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换

例如：y?f?3x?1?：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤

y?f??x2：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为??平移变换

2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”? 平移变换 （2）添“系数”?放缩变换 （3）加“绝对值”?翻折变换

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3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：

① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化 例如：y?f?x??y?f?2x?1?可有两种方案

方案一：先平移（向左平移1个单位），此时f?x??f?x?1?。再放缩（横坐标变为原来的

1），此时系数2只是添给x，即f?x?1??f?2x?1? 21方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时f?x??f?2x?，再平移时，若平移a个单

211位，则f?2x??f?2?x?a???f?2x?2a?（只对x加a），可解得a?，故向左平移

22个单位

③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如：y?f?x??y?2f?x??1有两种方案

方案一：先放缩：y?f?x??y?2f?x?，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即y?2f?x??y?2f?x??1

方案二：先平移：y?f?x??y?f?x??1，则再放缩时，若纵坐标变为原来的a倍，那么

??y?f?x??1?y?a?f?x??1?，无论a取何值，也无法达到y?2f?x??1，所以需要对

前一步进行调整：平移二、典型例题：

例1：要得到函数y?sin?2x?A. 向左平移

1个单位，再进行放缩即可（a?2） 2?????的图像，只需要将函数y?sin2x的图像（ ） 3???个单位 B. 向右平移个单位 33??C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位

66思路：观察发现原始函数与变换后的函数仅仅多一个常数，说明只有平移变换，在变换的过程中要注意只有含x的地方进行了变化，所以只有y?sin2?x?向右平移

????????sin2x????，所以是6?3???个单位 6答案：C

小炼有话说：（1）图像变换要注意区分哪个是原始函数，哪个是变化后的函数。

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（2）对于x前面含有系数时，平移变换要注意系数产生的影响。

例2：把函数y?sinx的图像上所有的点横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向右平移

3?个单位，这是对应于这个图像的解析式是（ ） 43??1x?4?23???1y?sinx? D. ??8??2??3?4A. y?cos2x B. y??cos2x C. y?sin?123?4?? ??y?sin2x?????y?sin2?x?思路：y?sinx????横坐标?向右平移??，经过化简可得：?3??y?sin2?x?4?答案：A

3????sin2x???2?????cos2x ?例3：为了得到函数y?sin?2x?A. 向左平移

?????的图像，可以将函数y?cos2x的图像（ ） 6???个单位 B. 向右平移个单位 33??C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位

66思路：观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三角函数名的，

只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变。所以在考虑变换之前，首先要把两个函数的三角函数名统一，y?cos2x?sin?2x??????，第二步观察2?可得只是经过平移变换，但是受到x系数影响。所以考虑对两个函数进行变形以便于观察平移了多少，目标函数：y?sin?2?x?可得平移了

???????12????；原函数：y?sin?2x???????????sin2x????? ?2?4?????个单位 3答案：B

小炼有话说：常见的图像变换是不能直接改变三角函数名，所以当原函数与目标函数三角函数名不同时，首先要先统一为正弦或者余弦 例4：要得到y?sinx的图像只需将y?sin?A. 先向左平移

?x????的图像（ ） 23??2?1个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的 322?1B. 先向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的

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1?，再将图像向左平移个单位 23?D. 先将图像上各点的横坐标扩大为至原来的2倍，再将图像向右平移个单位

3C. 先将图像上各点的横坐标缩短至原来的

思路：本题中共用两个步骤：平移与放缩。步骤顺序的不同将会导致平移的程度不同，所以可以考虑按照选项的提示进行变换，看结果是否与已知相同 A. y?sin??1?2??x?????y?sin??x?3?23??2?2?????1??sinx????3?3??22????y?sinx???3???? ?B. y?sin??1?2??x?????y?sin??x?3?23??2?1?????sinx?y?sinx ??2?3??? ?C. y?sin???2??x???????y?sin?x???y?sin?x?3?3?23???D. y?sin?答案：B

?1????????x???x???1???y?sin????y?sin??x?????sin?x??

3?3?4??23??43??4?4?例5：为了得到函数y?sin3x?cos3x的图像，可以将函数y?A.向右平移

2sin3x的图像（ ）

??个单位 B.向左平移个单位 44??C.向右平移个单位 D.向左平移个单位

1212思路：先将两个函数化为相同的结构，再考虑图像变换，从y?sin3x?cos3x入手化为

?2?2???sin3x?cos3x??2sin?3x??，从而得到y?Asin??x???的形式：y?2?24???2?需要y?答案：D

例6：将函数y?sin?2x???的图像沿x轴向左平移则?的一个可能取值为（ ） A．?2sin3x向左平移

?12个单位。

?个单位后，得到一个偶函数的图像，8?3?? B．0 C． D．

444向左平移8思路：首先先求出平移后的解析式，y?sin?2x????????y?sin?2?x????????? ????8??即y?sin?2x????????，在由已知可得其中一条对称轴为x?0，所以4?

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