2019年全国中考数学真题分类汇编3：代数几何综合压轴题

∴ 解得：

∴直线E'F：y＝﹣当﹣

x+21

，0）．

x+21＝0时，解得：x＝

∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（

（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．

设AH与OE相交于点G（t，∵AH⊥OE于点G，A（6，0） ∴∠AGO＝90° ∴AG2+OG2＝OA2 ∴（6﹣t）2+（

t），如图2

t）2+t2+（t）2＝62

∴解得：t1＝0（舍去），t2＝∴G（

，

）

设直线AG解析式为y＝dx+e ∴

解得：

∴直线AG：y＝﹣3x+18

当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5 ∴H（5，3）

∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称

①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2

则HE∥MN，MN＝HE＝4

∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上 ∴xM＝7+4或7﹣4，即xM＝11或3 当x＝3时，yM＝﹣∴M（3，

×9+

×9﹣）

＝

）或（11，

②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3 则HE、MN互相平分

∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上 ∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点 ∴yM＝﹣

×49+

×7﹣

＝4

∴M（7，4）

综上所述，点M坐标为（3，

）、（11，

）或（7，4）．

12. （2019年湖北省随州市）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线

y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（-2，0），C（6，0）．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为 ， ①求点P的坐标；

②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点

R若请

由．

的坐标；不存在，说明理

【考点】

二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，一次函数的图象与性质，二元一次方程组的解法

【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（-2，0），C（6，0）

∴设交点式y=a（x+2）（x-6） ∵抛物线过点A（0，6） ∴-12a=6 ∴a=- ∴抛物线解析式为y=-（x+2）（x-6）=-x2+2x+6=-（x-2）2+8

∴抛物线对称轴为直线x=2． （2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1 ∴∠PHD=90°

∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧 ∴2＜m＜6，PH=n=-m2+2m+6，n＞0

∵OA=OC=6，∠AOC=90° ∴∠ACO=45° ∵PD⊥AC于点E ∴∠CED=90°

∴∠CDE=90°-∠ACO=45° ∴DH=PH=n ∵PG∥AB ∴∠PGH=∠ABO ∴△PGH∽△ABO ∴ ∴GH=

n

∴d=DH-GH=n-n=n=（-m2+2m+6）=-m2+m+4（2＜m＜6） （3）①∵S△PDG= DG?PH= ∴ n?n=

解得：n1=，n2=-（舍去）

∴- m2+2m+6=

解得：m1=-1（舍去），m2=5 ∴点P坐标为（5， ）

②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形． 设直线AP解析式为y=kx+6 把点P代入得：5k+6= ∴k=-

∴直线AP：y=- x+6

i）若∠RAS=90°，如图2

∵直线AC解析式为y=-x+6 ∴直线AR解析式为y=x+6