马克思《数学手稿》

［数学手稿］

马克思

数学上的所谓公理，是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定。数学是数量的科学；它从数量这个概念出发。它给这个概念下一个不充分的定义，然后再把未包含在定义中的数量所具有的其他基本规定性，当作公理从外部补充进去，这时，这些规定性就表现为未加证明的东西，自然也就表现为数学上无法证明的东西。对数量的分析会得出这一切公理式的规定，即数量的必然的规定。斯宾塞说得对：我们所认为的这些公理的自明性是承继下来的。这些公理只要不是纯粹的同义反复，就是可以辩证地证明的。

数学问题。看来，再没有什么东西比四则（一切数学的要素）的差别具有更牢固的基础。然而，乘法一开始就表现为一定数目的相同数量的缩简的加法，除法则为其缩简的减法，而且除法在一种情况下，即除数是一个分数时，是把分数颠倒过来相乘。 代数的运算却进步了很多。每一个减法（ａ－ｂ）都可以用加法（－ｂ＋ａ）表示出来，每一个除法ａｂ都可以用乘法ａ×１ｂ表示出来。

至于用幂来运算，就更进步得多了。计算方法的一切固定差别都消失了，一切都可以用相反的形式表示出来。幂可以写作根（ｘ２＝ｘ４），根可以写作幂（Ｘ＝Ｘ１２）。１被幂除或被根除，可以用分母的幂来表示（１Ｘ＝ｘ１２１ｘ３＝ｘ－３）。

一个数的几个幂的乘或除，可以变做它们的各个指数的相加或相减。任何一个数都可以理解为和表示为其他任何一个数的幂（对数，ｙ＝ａｘ）。而这种从一个形式到另一个相反的形式的转变，并不是一种无聊的游戏，它是数学科学的最有力的杠杆之一，如__________果没有它，今天就几乎无法去进行一个比较困难的计算。如果从数学中仅仅把负数幂和分数幂取消掉，那末结果会怎样呢？（－·－＝＋，＝＋，－１等等，应在前面说明。）数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的。

量和质。数是我们所知道的最纯粹的量的规定。但是它充满了质的差异。（１）黑格尔，数目和单位，乘和除，乘方和开方。通过这些就可得出黑格尔所没有着重指出的质的差异：质数和乘积，简单的根和幂。１６不仅仅是１６个１的和，而且也是４的２次方和２的４次方。不仅如此，质数给予由它和其他数相乘而得的数以新的一定的质：只有偶数才能被２除，对于４和８也有类似的规定。

在用３做除数的情况下，有数字和的定律。在用９和６的情况下也是一样，但是在用６的情况下必须同时是偶数。在用７的情况下有特殊的定律。数字游戏就建立在这上面，没有学过的人是莫名其妙的。所以黑格尔（《量》第２３７页）关于算术没有

思想性的说法是不正确的。但是参看《度量》４５６。 只要数学谈到无限大和无限小，它就导入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立：量的相互差别太大了，甚至它们之间的每一种合理的关系、每一种比较都失效了，甚至它们变成在量上不可通约的了。通常的不可通约性，例如，圆和直线的不可通约性也是辩证的质的差异；但是在这里①正是同一类数量的量的差异把质的差异提高到不可通约性。

数。单个的数在记数法中已经得到了某种质，而且质是依照这种记数法来决定的。９不仅是１相加九次的和，而且是９０、９９、９０００００等等的基数。一切数的定律都取决于所采用的记数法，而且被这个记数法所决定。在２进位记数法和３进位记数法中，２×２不＝４，而＝１００或＝１１。在以奇数作基数的每种记数法中，偶数和奇数的差异不复存在了，例如在５进位记数法中，５＝１０，１０＝２０，１５＝３０。同样，在这种记数法中，３或９的倍数的数字和可以被３除尽的规则也失去作用了（６＝１１，９＝１４）。因此，基数不但决定它自己的质，而且也决定其他一切数的质。

关于幂的关系，问题就更进一步：每个数都可以当做其他任何一个数的幂——有多少整数和分数，就有多少对数系统。 一。再没有什么东西看起来比这个数量单位更简单了，但是，只要我们把它和相应的多联系起来，并且按照它从相应的多中产生出来的各种方式加以研究，就知道再没有什么比一更多样化

了。

一首先是整个正负数系统中的基数，它继续自相加下去就可得出其他任何数目。——一是一的所有正幂、负幂和分数幂的表现：①即在无限的数学中。１２，１，１－２都等于一。——一是分子和分母相等的一切分数的值。——一是任何数的零次幂的表现，因此，它是在所有对数系统中其对数都相同即都等于零的唯一的数。这样，一是把所有可能的对数系统分成两部分的界限：如果底大于一，则一切大于一的数的对数都是正的，而一切小于一的数的对数都是负的；如果底小于一，则恰恰相反。因此，如果说，任何数是由相加起来的一所组成，因而自身包含着一，那末，一自身也同样包含着其他一切数。这不只是可能性，因为我们能仅仅用一来构成任何数；而且是现实，因为一是其他任何数的一定的幂。数学家们在做起来对自己方便的地方，都不动声色地在自己的计算中引用ｘ０＝１，或引用分子和分母相等的分数，即等于一的分数，因而在数学上运用了包含在一中的多。但是，如果有人以一般的表达方式向他们说，一和多是不能分离的、相互渗透的两个概念，而且多包含于一中，正如一包含于多中一样，他们就会皱起鼻子，并做起鬼脸来。但是，只要我们一离开纯粹数的领域，我们就会看到这是实在情形。在测量长度、面积和体积时就很明显，我们可以采用任何适当的数量来作为单位，而在测量时间、重量和运动等等时也是如此。对于测量细胞，甚至毫米和毫克也太大了；对于测量星球的距离或光的速度，公里