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马克思《数学手稿》

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  • 2025/7/6 17:26:26

[数学手稿]

马克思

数学上的所谓公理,是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定。数学是数量的科学;它从数量这个概念出发。它给这个概念下一个不充分的定义,然后再把未包含在定义中的数量所具有的其他基本规定性,当作公理从外部补充进去,这时,这些规定性就表现为未加证明的东西,自然也就表现为数学上无法证明的东西。对数量的分析会得出这一切公理式的规定,即数量的必然的规定。斯宾塞说得对:我们所认为的这些公理的自明性是承继下来的。这些公理只要不是纯粹的同义反复,就是可以辩证地证明的。

数学问题。看来,再没有什么东西比四则(一切数学的要素)的差别具有更牢固的基础。然而,乘法一开始就表现为一定数目的相同数量的缩简的加法,除法则为其缩简的减法,而且除法在一种情况下,即除数是一个分数时,是把分数颠倒过来相乘。 代数的运算却进步了很多。每一个减法(a-b)都可以用加法(-b+a)表示出来,每一个除法ab都可以用乘法a×1b表示出来。

至于用幂来运算,就更进步得多了。计算方法的一切固定差别都消失了,一切都可以用相反的形式表示出来。幂可以写作根(x2=x4),根可以写作幂(X=X12)。1被幂除或被根除,可以用分母的幂来表示(1X=x121x3=x-3)。

一个数的几个幂的乘或除,可以变做它们的各个指数的相加或相减。任何一个数都可以理解为和表示为其他任何一个数的幂(对数,y=ax)。而这种从一个形式到另一个相反的形式的转变,并不是一种无聊的游戏,它是数学科学的最有力的杠杆之一,如__________果没有它,今天就几乎无法去进行一个比较困难的计算。如果从数学中仅仅把负数幂和分数幂取消掉,那末结果会怎样呢?(-·-=+,=+,-1等等,应在前面说明。)数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生,并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的,但不是由他们发明的。

量和质。数是我们所知道的最纯粹的量的规定。但是它充满了质的差异。(1)黑格尔,数目和单位,乘和除,乘方和开方。通过这些就可得出黑格尔所没有着重指出的质的差异:质数和乘积,简单的根和幂。16不仅仅是16个1的和,而且也是4的2次方和2的4次方。不仅如此,质数给予由它和其他数相乘而得的数以新的一定的质:只有偶数才能被2除,对于4和8也有类似的规定。

在用3做除数的情况下,有数字和的定律。在用9和6的情况下也是一样,但是在用6的情况下必须同时是偶数。在用7的情况下有特殊的定律。数字游戏就建立在这上面,没有学过的人是莫名其妙的。所以黑格尔(《量》第237页)关于算术没有

思想性的说法是不正确的。但是参看《度量》456。 只要数学谈到无限大和无限小,它就导入一个质的差异,这个差异甚至表现为不可克服的质的对立:量的相互差别太大了,甚至它们之间的每一种合理的关系、每一种比较都失效了,甚至它们变成在量上不可通约的了。通常的不可通约性,例如,圆和直线的不可通约性也是辩证的质的差异;但是在这里①正是同一类数量的量的差异把质的差异提高到不可通约性。

数。单个的数在记数法中已经得到了某种质,而且质是依照这种记数法来决定的。9不仅是1相加九次的和,而且是90、99、900000等等的基数。一切数的定律都取决于所采用的记数法,而且被这个记数法所决定。在2进位记数法和3进位记数法中,2×2不=4,而=100或=11。在以奇数作基数的每种记数法中,偶数和奇数的差异不复存在了,例如在5进位记数法中,5=10,10=20,15=30。同样,在这种记数法中,3或9的倍数的数字和可以被3除尽的规则也失去作用了(6=11,9=14)。因此,基数不但决定它自己的质,而且也决定其他一切数的质。

关于幂的关系,问题就更进一步:每个数都可以当做其他任何一个数的幂——有多少整数和分数,就有多少对数系统。 一。再没有什么东西看起来比这个数量单位更简单了,但是,只要我们把它和相应的多联系起来,并且按照它从相应的多中产生出来的各种方式加以研究,就知道再没有什么比一更多样化

了。

一首先是整个正负数系统中的基数,它继续自相加下去就可得出其他任何数目。——一是一的所有正幂、负幂和分数幂的表现:①即在无限的数学中。12,1,1-2都等于一。——一是分子和分母相等的一切分数的值。——一是任何数的零次幂的表现,因此,它是在所有对数系统中其对数都相同即都等于零的唯一的数。这样,一是把所有可能的对数系统分成两部分的界限:如果底大于一,则一切大于一的数的对数都是正的,而一切小于一的数的对数都是负的;如果底小于一,则恰恰相反。因此,如果说,任何数是由相加起来的一所组成,因而自身包含着一,那末,一自身也同样包含着其他一切数。这不只是可能性,因为我们能仅仅用一来构成任何数;而且是现实,因为一是其他任何数的一定的幂。数学家们在做起来对自己方便的地方,都不动声色地在自己的计算中引用x0=1,或引用分子和分母相等的分数,即等于一的分数,因而在数学上运用了包含在一中的多。但是,如果有人以一般的表达方式向他们说,一和多是不能分离的、相互渗透的两个概念,而且多包含于一中,正如一包含于多中一样,他们就会皱起鼻子,并做起鬼脸来。但是,只要我们一离开纯粹数的领域,我们就会看到这是实在情形。在测量长度、面积和体积时就很明显,我们可以采用任何适当的数量来作为单位,而在测量时间、重量和运动等等时也是如此。对于测量细胞,甚至毫米和毫克也太大了;对于测量星球的距离或光的速度,公里

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[数学手稿] 马克思 数学上的所谓公理,是数学需要用作自己的出发点的少数思想上的规定。数学是数量的科学;它从数量这个概念出发。它给这个概念下一个不充分的定义,然后再把未包含在定义中的数量所具有的其他基本规定性,当作公理从外部补充进去,这时,这些规定性就表现为未加证明的东西,自然也就表现为数学上无法证明的东西。对数量的分析会得出这一切公理式的规定,即数量的必然的规定。斯宾塞说得对:我们所认为的这些公理的自明性是承继下来的。这些公理只要不是纯粹的同义反复,就是可以辩证地证明的。 数学问题。看来,再没有什么东西比四则(一切数学的要素)的差别具有更牢固的基础。然而,乘法一开始就表现为一定数目的相同数量的缩简的加法,除法则为其缩简的减法,而且除法在一种情况下,即除数是一个分数时,是把分数颠倒过来相乘。 代数的运算却进步了很多。每一个减法(a

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