中学数学中与初等数论相关的几个问题

湖北师范学院2007届数学系学士学位论文(设计)8

原理2也可以变为：把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至多要有k个元素。其中 k＝〔m/n 〕 ，这里〔m/n 〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。 应用抽屉原理解题的步骤 :

第一步：分析题意。分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。

第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。

第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。 利用上述原理容易证明：

“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”

因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。 1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：

“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”

这个问题可以用如下方法简单明了地证出：

在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一 条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC， AD同为红色。如果BC，BD，CD3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相 识：如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的 结论。

例10：从1～100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个数是另一个数的整数倍.

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【分析】现在的‘苹果’数定了51个,我们怎么来构造出符合要求的50层抽屉来?显然抽屉的构造只能从1～100个数中选取,从整数倍这点提示我们,在构造抽屉时应重点考虑这个问题.有一种方法,我们可以按奇数的2的n次方的倍数分组(因为刚好50个奇数).即

{1,2,4,6,?,64}; {3,6,12, ?,96}; {5,10,20,40,80}; {7,14,28,55}; ? {97}; {99}.

共50组.任取51个数,必有两个数落在同一组里.显然,同一组的两个数,必定有一个数是另一个数的整数倍.

在这里运用了构造抽屉的思想,在整除问题中有时题目太复杂,构造抽屉可以缩小题目的范围,达到简化的目的.

例11: a,b,c,d为任意给定的整数,求证:以下六个差数

b?a,c?,a?d,a?c,12整除. b?d,的乘积一定可以被?bdc证明 把这6个差数的乘积记为p,我们必须且只需证明:3和4都可以整除p,

以下分两步进行.

第一步,把a,b,c,d按以3为除数的余数来分类,这样的类只有三个,故知

a,b,c,d中至少有2个除以3的余数相同,例如,不妨设为a,b,,这时3可整除

b?a,从而3可整除p.

第二步,再把a,b,c,d按以4为除数的余数来分类,这种至多有四个,故知

a,b,c,d中有两个数除以4的余数相同.那么与第一步类似,我们立即可作出4

可整除p的结论.设a,b,c,d四数除以4的余数不同,由此推知, a,b,c,d之中必有二个奇数(不妨设为a,b),也必有二个偶数(设为c,d),这时b?a为偶数,d?c也是偶数,故4可整除(b?a)(d?c),自然也可得出4可整除p.

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如果能进一步灵活运用原则,不仅制造抽屉,还根据问题的特征,制造出放进抽屉的物体,则更可以收到意想不到的效果.

6.致谢

在整个毕业论文撰写过程中,承蒙指导老师左可正教授的指点,在选题,开题过程中不断指引我正确的方向,在正式论文设计过程中不断提出宝贵的意见,我在这里向左老师致以深切的谢意.同时也感谢我的同学们,在我收集资料的过程中,不断地给于我帮助,替我收集竞赛题,使得我的论文得以顺利完成.

7.参考文献

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[4]:朱思良.整数的性质.上海教育出版社.1958年：32～48

[5]:李复中 余红兵.初等数论选讲.东北大学出版社.1984年：12～19 [6]:柯召 孙琦.初等数论100例.上海教育出版社.1980年；20～119

[7]:最新俄罗斯数学竞赛题精解[M].第一版.福建科学技术出版社.1999年：96～

128

[8]:李炯生 黄固勋 戴牧民 丁有炳.国际数学竞赛[M].第一版.上海科学技术出

版社.1999年：106～150

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