二次根式的五重点三难点突破

二次根式的“五重点”“三难点”详解

一、 五大重点一一攻克

1． 二次根式的概念：重点注意被开方数是非负数。 例1判断下列式子哪些是二次根式．

（1）?13; （2）35； （3）9； （4）?5x； （5）?x2 剖析：判断一个带根号的式子是否为二次根式应从二次根式的概念入手，先看根

指数是否为2，被开方数整体是否为非负数．

解：（1）∵ 被开方数-13是负数，∴?13不是二次根式。 （2）∵ 根指数是3 ， ∴35不是二次根式。 （3）∵被开方数9〉0 ∴9是二次根式。

(4) ∵ x可取正数、负数、0； ∴?5x可取正数、负数、0。

即当?5x?0时，?5x是二次根式；当?5x?0时，?5x不是二次根式。 （5）∵x2?0 ， ∴?x2?0，即当x?0时，?x2是二次根式；当x?0时，

?x2不是二次根式。

2．二次根式的两个重要性质的理解和运用 （1）(a)2=a (a≥0)；（2）a2?a? 例2 化简（1）

a(a?0)?a(a?0)；

?x?1 （2）?4a3 2?2剖析： (a)2=a (a≥0)的运用主要看被开方数a整体是否为非负数。 （1） 中x?1无论x取何实数恒为正数，故

运用a2?a? a(a?0)?a(a?0);2?x?1=x2?1；

2?2要特别关注a的正负性。

（2）?4a3中由?4a3?0得a?0,?a?0，所以

?4a3=4×a2(?a)=2a2·?a=?2a?a。

3.最简二次根式的概念的运用

例3 在二次根式15,45,30,40，

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

剖析：判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

223中，最简二次根式有（ ）个

例3中15,30满足以上两个特点，故15;30都是最简二次根式；而

45?9?5;40?4?10中被开方数分别含有能开得尽方的因数9和4，故

45;40都不是最简二次根式；2282?中被开方数含分母3，故2不是最333简二次根式。故选B。

4.运用二次根式乘除法法则计算或化简

例4 化简:12?(27解:原式=6)?24 4241212241224??4??2?. ?24????93327627?6276例5计算：2a?33? ab5??ab??3b2b??23a944abab 解:原式= ???3ab5a3b??b2bb9a2b2ab??9a2bab 。 =?b点拨: 运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序，二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果。 5. 二次根式加减法法则的运用 例6 计算12?0.5?1?18 3解:原式=23?75231???1?3?2 ??32??2??3???3?2=32233???2?点拨：运用二次根式加减法则计算的关键是先把各二次根式化成最简二次根式，

再合并同类二次根式。

二、三大难点各个击破

1．二次根式的双重非负性及两个重要性质的条件的使用。

例1 已知x3?2x2??xx?2,求x的取值范围？ 剖析：二次根式a中a的取值范围为a?0，从而a?0。

解：∵x3?2x2?0; ∴?xx?2?0

而x?2?0,??x?0即x?0.又x?2?0,?x??2 ∴x的取值范围是?2?x?0。

例2 数a、b在数轴上的位置如图所示， 化简：(a?1)2?(b?1)2?(a?b)2 .由图可知：?2?a??1,1?b?2； ∴a?1?0;b?1?0;a?b?0

?(a?1)2?(b?1)2?(a?b)2

=a?1?b?1?a?b??a?1?b?1?(b?a)??2

2．逆用二次根式乘除法法则进行化简

3例3 计算或化简（1）(?9)?(?8)； （2）9x2y3?x?y?（x?0;y?0）

解：（1）(?9)?(?8)=9?8?9?8?3?22?62. （2）9x2y2?x?y?=9x23y2. (x?y)3?3xy(x?y)x?y（x?0;y?0）

3.灵活运用二次根式加减乘除混合运算化简求值

例4 已知x?27?57?5,y?,求x22?xy?y2的值.

解:由题可知x?y?7;xy?1. 222?x2?xy?y2=(x?y)2?3xy?7?3?11.

55与-点拨:观察发现已知条件x,y中的是一对相反数,而所求式子是这

22两个数的平方和与这两个数的乘积的差,故可由已知转变条件,运用完全平方式

简化求值.

栏目名：错题集

解二次根式常见错误分类解析

一、审题不清导致错误 例1 16的平方根是______ . 错解： 16的平方根是?4.

诊断：错把16的平方根当成16的平方根。 正解：

16?4;?16的平方根是?2。

二、化简不彻底，结果不是最简二次根式 例2 化简72.

错解：原式＝9?8?38. 诊断：化简二次根式的结果一定是最简二次根式，而8?22。 正解：原式＝9?8?38?3?22?62. 或原式＝?????62. 三、分母有理化时，所乘有理化因式可能为0而导致错误 例3化简 x?y

x?yx-y错解：?x?y??x-y??x?yx-y???x-y???x-y??x-yx-y??x-y.

诊断：题中只隐含x?y?0,即x＞0，y＞0，所以x与y有可能相等。 故应分两种情况。 正解：（1）当x?y时，原式=0；

?x?y? （2）当x?y时， x?y?x?y??x?yx?y???x?y???x?y??x?yx?y??x?y

四、漏掉括号导致错误 例4 分母有理化a?1

2a?1