2007重庆大学数模竞赛题目

2007年重庆大学数学建模竞赛题

要求：

每个参赛队从下述两题中选择一道解答，写出论文，论文应包括： 1）摘要（500—800字，不超过一页）； 2）问题的重述 ；3）模型假设及符号说明；4）问题的分析及模型的设计（可设计多个模型）； 5）求解方法、结果的分析和检验； 6）模型的优缺点及改进方向；7）参考文献；8）作为附录附上必要的计算机程序。评阅时按照假设和模型的合理性、结果的正确性、文字表述的清晰程度、建模和方法的创造性为主要标准。另外，在论文封面附上如下表格的信息： 高等 数学 线性 代数 相关学科成绩 概数数率 学 学 统模实计 型 验 英语四级 英语六级 姓名 学院 年级专业 学号 联系电话 交论文时间和地点：14周星期二（6月5日）下午15：00－16：30将打印装订好的论文交到虎溪D1241教员休息室或A区理科楼405室。

注：题目所需数据可到“数学实验”精品课程网站的“教学辅导/网上辅助教学”的讲稿下载中下载。

论文格式规范：

1. 论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距； 2．论文第一页为封面页，应包括论文题目和上述表格信息；

3．论文第二页为摘要，应包括：问题（1，2句话），模型，算法思想（求解思路），特色，主要结果（数值结果，结论）； 4. 从第三页开始是论文正文；

5. 论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号；

6．论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。 7．引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：

[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。

参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：

[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为：

[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。

A题：大规模集成电路中模块的定位

将n个模块置入一个正方形集成电路板C中，每个模块有几个接线端，这些接线端要与另外的某些模块的接线端连接，或者和C的周界上的输入/输出（I/O）端口连接，输入/输出端口的位置是固定的并且已知。可假设C={(x,y) | -1?x?1, -1?y?1}, 我们需要确定这些模块（假设不考虑模块的大小，即将其看作点）在C中的位置，使连接线路的总长最小。图1给出了一个3个模块，6条连线，4个输入/输出端口的例子。

图1 正方形电路板中的3个模块和6条连线

就以下几种情况建立相应的确定n个模块位置的数学模型。 1． 用模块间的欧几里得距离l2作为其连线的长度；

2． 用模块间的曼哈顿距离l1（直折线距离）作为其连线的长度； l1?x1?x2?y1?y 23． 用模块间的修正曼哈顿距离d作为其连线的长度；

d?h(x1?x2)?h(y1?y2)

其中h为一个分段线性函数，h(z)=max{z,-z, ?}, ?是正常数 h(z) 的函数图如图2所示。

图2 分段函数h(z)

4． 如果用模块间的曼哈顿距离l1（直折线距离）作为其连线的长度，但不是最小化总长度，而

是最小化最长连线的长度。

另外，为简便起见，考虑一维的情况，即将模块置入区间[-1, 1]. ?取为0.02。在Adata1.txt中给出了实例1：50个模块，150条连线的数据，Adata2.txt中给出了实例2：100个模块，300条连线的数据，两个实例中任选一个给出上述四个模型的解，并进行比较。要求

? 分别画出每个解中n个模块的位置的直方图。 ? 分别画出连线长度xi?xj的直方图。

? 计算四个模型得到的解的总长度和最长连线的长度

? 前面均未考虑模块的大小，实际上，我们必须考虑模块间的重叠，假设当模块间的距离小于0.01时，就认为两模块重叠。对四个模型得到的解分别计算其有多少对模块重叠以及占总对数n(n-1)/2的百分比。

进一步，考虑使连线的总长度和模块的重叠数尽可能小的问题。

B题：银行网点的优化设计

随着我国金融市场的全面开放，金融管制的放松和市场竞争的加剧，银行网点（也包括ATM，自助银行）设计合理有助于银行节约成本，提升服务价值和竞争力的重要手段之一。银行由大量铺设营业网点到集约化收缩调整营业网点，体现了银行的市场化进程。

银行从经济效益着眼,总是希望在一定的时间内,被服务的顾客数量越大越好,而顾客总是希望在银行业务窗口前不要排队等待,至少队列不能太长,除办理业务之外,停留时间越短越好。既考虑银行的经济效益,又照顾到顾客的接受程度,使网点处于最佳的利用状态,以便寻找银行网点的合理配置。

为了简化，假定每个银行网点都只有3个业务窗口，每个业务窗口都可办理相同业务，要求设置的业务窗口利用率至少在0.56以上,顾客在银行愿意等待的时间在5.0～9.0 分钟之间。顾客办理业务的时间为1. 5～4.5 分钟的均匀分布。顾客单位时间的平均到达率服从指数分布。

请根据给出的数据（见Bdata.xls），回答以下问题： 1、求出影响银行网点个数的主要因素，并解释原因。

2、根据网点设计给出的标准，既考虑到银行的经济效益，又照顾到顾客的接受程度，判断给出的各区县的网点个数是否合理？

3、若某地区的银行网点个数不合理，应如何调整？ 附1：

1、银行的服务分为对公，对私和其他服务。通常对私储蓄服务（不包括贵宾服务）才会发生排长队现象。本题中业务只指对私储蓄服务。

2、顾客平均到达率指单位时间到达的顾客数?；平均服务率（即平均服务时间的倒数）指单位时间服务的顾客数?。业务窗口利用率???，本题为多服务台情形。 3?