2019年中考数学压轴题汇编(代数2)(湖南--山东)中考备考宝典

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2019年中考压轴题汇编（代数2）（湖南--山东）84页

（2019年湖南衡阳25题）

25．（10分）如图，二次函数y＝x+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E． （1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）设OP＝x，则PB＝3﹣x，由△POE∽△CBP得出比例线段，可表示OE的长，利用二次函数的性质可求出线段OE的最大值；

（3）过点M作MH∥y轴交BN于点H，由S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝【解答】解：（1））∵抛物线y＝x+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）， 把A、B两点坐标代入上式，解得：

，

22

即可求解．

，

故抛物线函数关系表达式为y＝x﹣2x﹣3； （2）∵A（﹣1，0），点B（3，0）， ∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，

∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE， ∴∠OPE+∠CPB＝90°，

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∠CPB+∠PCB＝90°， ∴∠OPE＝∠PCB， 又∵∠EOP＝∠PBC＝90°， ∴△POE∽△CBP， ∴

，

设OP＝x，则PB＝3﹣x， ∴，

∴OE＝，

∵0＜x＜3， ∴

时，线段OE长有最大值，最大值为

． 即OP＝时，线段OE有最大值．最大值是．

（3）存在．

如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，

∵抛物线的解析式为y＝x2

﹣2x﹣3，∴x＝0，y＝﹣3， ∴N点坐标为（0，﹣3）， 设直线BN的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴

，

∴直线BN的解析式为y＝x﹣3， 设M（a，a2

﹣2a﹣3），则H（a，a﹣3），

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2

2

∴MH＝a﹣3﹣（a﹣2a﹣3）＝﹣a+3a， ∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝∵

，

，此时M点的坐标为（

）．

＝

＝

，

∴a＝时，△MBN的面积有最大值，最大值是

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．

（2019年湖南怀化23题）

23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点． ①若S△PMN＝2，求k的值；

②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；

③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

2

【分析】（1）求出点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），即可求解； （2）①S△PMN＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，即可求解；②k1k2＝

＝

＝﹣1，即可求解；③取MN的中点H，则点H是△PMN外接

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圆圆心，即可求解．

【解答】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3， 即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0）， 则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x﹣2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故函数表达式为：y＝﹣x+2x+3， 点P（1，4）；

（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得： x﹣（2﹣k）x﹣k＝0，

设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）， 则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，

则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k， 同理：y1y2＝9﹣4k，

①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3）， S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4， |x2﹣x1|＝解得：k＝±2

；

，

2

2

2

2

2

②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4）， 则直线PM表达式中的k1值为：

，直线PN表达式中的k2值为：

，

为：k1k2＝故PM⊥PN，

＝＝﹣1，

即：△PMN恒为直角三角形；

③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，

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