2020年中考数学人教版版专题复习：图形的变换

2020年中考数学人教版版专题复习：图形的变换

一. 教学内容：

专题——图形的变换

1. 掌握平移、旋转、轴对称的性质．

2. 能够利用平移、旋转、轴对称解决一些相关问题．

二. 知识要点： 1. 全等变换

在平面内，图形的变换有三种基本形式：平移、旋转和轴对称．一个图形若经过这三种变换，位置发生变化，而形状、大小都不变，我们也称这样的变换为全等变换，就是说变换前后的两个图形是全等的． 2. 平移变换

（1）性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等．

（2）方法运用：平移变换是通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移到一个新的位置上，使图形中分散的条件与结论有机地联系起来，如加倍中线、三角形中位线，在梯形中移腰，平移对角线等，本质上都体现了平移的思想．

（3）平移在应用时有三种情况： ①把某个条件中的线段或角平移； ②把结论中的线段或角平移；

③把图形中的某一条件和结论中的线段或角同时平移．进行平移时，要抓住三点，即平移的对象、平移的方向和平移的距离． 3. 旋转变换 （1）性质：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．

（2）把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称．

（3）方法运用：旋转变换是通过将图形中某一图形绕一定点旋转一个角度，使之转移到一个新的位置上，把图形中的分散条件和结论有机地联系起来．旋转变换常用于有等腰三角形条件的题目中，旋转变换应用时有下面三种情况：

①旋转90°：当题目中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°； ②旋转60°：当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°； ③旋转度数等于等腰三角形顶角的度数：当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶点旋转顶角的度数． 4. 轴对称变换

（1）性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． （2）方法运用：对称变换是通过作图形关于一直线（或一点）的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．

（3）应用对称变换时有下面两种情况：

①图形中有轴对称图形时，可考虑用此变换； ②图形中有垂线、折线条件时，可考虑用此变换．

三. 重点难点：

本节学习的重点是图形的平移和旋转变换，轴对称和中心对称的基本特征与性质．难点

来源学*科*网是能按要求作出旋转后的图形，并理解中心对称图形是旋转角为180°的特殊的旋转对称图形．

四. 考点分析：

近几年，在各省市中考试题中，几何图形的操作与变换成为考查的重点之一，主要考查对图形的观察能力，对图形运动变化的分析能力，图形操作动手能力和逻辑思维能力，以选择题、解答题为主，试题一般为中等难度题和难度较大的解答题．

【典型例题】

题型一 轴对称图形和中心对称图形

例1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

分析：首先判断轴对称图形为A、B和D项，而只有B旋转180°后与自身重合，满足条件的只有B．

解：B 评析：判断一个图形是否是轴对称图形只要看这个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能否互相重合．能重合就是轴对称图形，不能重合就不是轴对称图形．而判断一个图形是否是中心对称图形只要看这个图形绕着某个点旋转180°能否与原图形重合．能重合就是中心对称图形，不能重合就不是中心对称图形．

题型二 图形的折叠问题

例2. 把一张正方形纸片按下图对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（ ）

ABCDABCD

分析：解决本题简单易行的方法就是利用折纸的方式进行实践得出结论． 解：C

评析：将纸片进行折叠并裁剪，判断展开后图形的形状是一种对称变换的题型．要特别关注折叠前后角度、线段的长度等之间的变量和不变量．

题型三 利用轴对称和中心对称设计图案

例3. 认真观察图①的四个阴影部分构成的图案，回答下列问题．

来源学科网ZXXK]①

（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．

特征1：______________________________； 特征2：______________________________．

（2）请在图②中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．

分析：对于上图的分析可从对称和面积角度分析，所设计图案一定要满足条件． 解：（1）都是轴对称图形；都是中心对称图形；这些图形的面积都等于4个单位面积等．

（2）满足条件的图形有很多，如图③所示．

②

评析：利用轴对称和中心对称设计符合要求的图形是近年考试的一个热点问题，这类问题因其具有开放性的特点备受命题者的青睐，在设计图案时，首先要搞清楚题目中有几个条件限制，哪些条件比较容易满足，哪些条件需要变通之后才能满足，然后再在所给图形中进行多次实验，最后再确定满足条件的图形．

题型四 图形的平移

例4. 如图①，横、纵相邻格点间的距离均为1个单位．

（1）在格点中画出图形ABCD先向右平移6个单位，再向上平移2个单位后的图形． （2）请写出平移前后两图形对应点之间的距离．

③

分析：首先将已知图形的四个关键点分别向右平移6个单位，向上平移2个单位，再连接各顶点即可．对于平移后对应点间的距离只要计算出一对顶点之间的距离就可以了．

解：（1）如图②，（2）210个单位．

评析：图形平移的决定因素是平移的方向和距离．将已知图形按要求平移，在作图时，首先确定一些关键点，再将以上各点分别按要求平移到指定位置，最后连接各点成图．平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状和大小都不发生变化，平移后对应点所连的线段平行且相等．解决问题时，我们可以利用平移的这些特征，检查答案是否正确．

题型五 图形的旋转

例5. 在图①的方格纸中，将等腰△ABC绕底边BC的中点O旋转180°． （1）画出旋转后的图形．

（2）观察：旋转后得到的三角形与原三角形拼成什么图形？为什么？ （3）若要使拼成的图形为正方形，那么△ABC应满足什么条件？为什么？

分析：旋转后的图形比较容易画出，旋转后的图形与原图形拼成的图形，利用定义可以判断为菱形，在菱形的基础上再添加一个角为直角即可为正方形，也就是原等腰三角形变为等腰直角三角形．

ABOC(1)

①

②

来源学科网

解：（1）如图②．

（2）旋转后得到的三角形与原三角形拼成菱形．

理由：设△ABC绕O旋转180°后得到△A’B’C’，则△ABC≌△A’B’C’．

∵O是BC的中点，∴B点的对应点B’与C重合，C点的对应点C’与B重合． ∴A’B＝AC，A’C＝AB．

∵AB＝AC，∴A’B＝AB＝AC＝A’C． ∴四边形ABA’C是菱形．

（3）当△ABC是等腰直角三角形时，拼成的图形是正方形．理由：由（2）知，四边形ABA’C是菱形，又∵∠BAC＝90°，

∴四边形ABA’C是正方形． 评析：本题利用旋转设计的图案，考查了图形旋转问题一定要注意的旋转的几个决定因素：旋转中心、旋转方向和旋转的角度．

题型六 图形变换的综合运用

例6. 如图所示，桌面内直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直角边的长为6cm，较小锐角的度数为30°．

（1）将△ECD沿直线AC翻折到如图①的位置，ED’与AB相交于点F，请证明：AF＝FD’； （2）将△ECD沿直线l向左平移到图②的位置，使E点落在AB上，试求出平移的距离； （3）将△ECD绕点C逆时针方向旋转到图③的位置，使E点落在AB上，请求出旋转角的度数．

AEFlBCDD'BllBC(1)①

DC'C(2)②

D'DBAEE'AEAEE'D'l

C(3)③

D

解：（1）根据轴对称的性质可知，在△AFE与△D’FB中， ∵∠A＝∠CD’E，AE＝BD’，∠AFE＝∠D’FB， ∴△AFE≌△D’FB．∴AF＝FD’．

（2）根据平移的性质可知CC’为平移的距离．

在Rt△E’BC’中，∵E’C’＝6，∴BC’＝23，∴CC’＝6－23．

（3）根据旋转的性质可知，△BCE’为等边三角形，∠ECE’为旋转角．∴旋转角∠ECE’＝30°．

评析：解决平移与旋转的综合变换问题时，既可以先旋转后平移，也可以先平移后旋转，只要把握好平移和旋转变换的各自的几要素，就可以很好地解决问题．

【方法总结】

图形变换主要是培养同学们的动手操作和图案设计能力，关键是掌握平移、旋转、轴对称的特性，以及它们之间的联系，有时候利用图形变换也能巧妙地解决一些几何图形的计算和证明问题．

来源学科网ZXXK]

【预习导学案】

（专题——圆的有关计算）

一. 预习前知

1. 垂直于弦的直径平分__________，并且平分__________；平分弦（不是直径）的直径__________，并且__________．

2. 把圆周平均分成8等份，顺次连结各分点，所得多边形的每个内角是__________度． 3. 弧长公式是__________，扇形面积公式是__________． 二. 预习导学

1. 如图所示，在⊙O中，AB是直径，CD是⊙O的一条非直径的弦，AB⊥CD．则图中存在的相等关系有____________________．

AOCEBD

2. 已知扇形的圆心角为60°，弧长为10πcm，则这个扇形的半径为__________cm，面积是__________cm2．

3. 正六边形每个内角的度数是__________，其半径和边长的关系是__________． 反思：（1）在圆中哪些问题可以转化为直角三角形来解决？

（2）如何计算圆中不规则阴影部分的面积？