（五年高考真题）2016届高考数学复习 第五章 第二节 平面向量的数量积及其应用 理（全国通用）

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两式相乘，得cosθ＝.

4

2

mn?π?又∵θ∈?0，?，

4??

∴cos θ∈?

2

?2??1，1?， 2

，cosθ∈?2?，1?

???2?

∴mn＝4cosθ∈(2，4)． 又∵m，n∈Z，m>0，n>0，m>n， ∴m＝3，n＝1，

m3

∴a ° b＝＝.

22

答案 C

1

3．(20152浙江，15)已知e1，e2是空间单位向量，e12e2＝，若空间向量b满足b2e1＝

25

2，b2e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈

2R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.

1π3??1

解析 ∵e12e2＝|e1|2|e2|cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝.不妨设e1＝?，，0?，

23?22?

e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t)．

13

?b2e＝m＋n＝2，?2235

由题意知?解得n＝，m＝，

225

b2e＝m＝，?2?

12

3??5

∴b＝?，，t?.

?22?

33?51?∵b－(xe1＋ye2)＝?－x－y，－x，t?，

22?22?

5x?2?33?2?2222

∴|b－(xe1＋ye2)|＝?－－y?＋?－x?＋t＝x＋xy＋y－4x－5y＋t＋7＝

?22?2??2

2

?x＋y－4?＋3(y－2)2＋t2.由题意知，当x＝x＝1，y＝y＝2时，?x＋y－4?＋3(y－2)2

?00?2?2???4??4

＋t取到最小值．此时t＝1，

22

?5?＋?3?＋t2＝22. ?2??????2?

2

2

22

故|b|＝

答案 1 2 22

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4．(20152广东，16)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝?

2??2

，－?，n＝(sin x，

2??2

?π?cos x)，x∈?0，?.

2??

(1)若m⊥n，求tan x的值． π

(2)若m与n的夹角为，求x的值．

3解 (1)因为m＝?

2??2

，－?，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.

2??2

22

sin x－cos x＝0， 22

所以m2n＝0，即所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.

π1

(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m2n＝cos＝，

32即

221sin x－cos x＝， 222

?π?1所以sin?x－?＝，

4?2?

ππππ

因为0

2444ππ5π

所以x－＝，即x＝.

4612

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