（五年高考真题）2016届高考数学复习 第五章 第二节 平面向量的数量积及其应用 理（全国通用）

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3.(20142天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC2→→→→

上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE2AF＝1，CE2CF＝－，则λ＋μ＝( )

31A. 2

2B. 3

5C. 6

D.7 12

解析 如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，－1)，B(－→→

3，0)，C(0，1)，D(3，0)，由题意得CE＝(1－λ)2CB→→

＝(3λ－3，λ－1)，CF＝(1－μ)CD＝(3－3μ，μ－1)．

2→→

因为CE2CF＝－，

3

2

所以3(λ－1)2(1－μ)＋(λ－1)(μ－1)＝－，

31

即(λ－1)(μ－1)＝.

3

→→→

因为AE＝AC＋CE＝(3λ－3，λ＋1)．

AF＝AC＋CF＝(3－3μ，μ＋1)，

→→

又AE2AF＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2. 1??（λ－1）（μ－1）＝，3 由?

??（λ＋1）（μ＋1）＝2，5

整理得λ＋μ＝.选C.

6答案 C

4．(20112辽宁，10)若a，b，c均为单位向量，且a2b＝0，(a－c)2(b－c)≤0，则|a＋

→→→

b－c|的最大值为( )

A.2－1

B．1

C.2

D．2

解析 设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，

则x＋y＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，

则(a－c)2(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x＋y－x－y＝1－x－y≤0，即x＋

2

2

2

2

y≥1.

又a＋b－c＝(1－x，1－y)，

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∴|a＋b－c|＝（1－x）＋（1－y）＝（x－1）＋（y－1）① |a＋b－c|＝（x－1）＋（y－1） ＝x＋y－2x－2y＋2……

＝3＋2（－x－y）＝3－2（x＋y），

由x＋y≥1，∴|a＋b－c|≤3－2＝1，最大值为1. 答案 B

5．(20152天津，14)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动→→→1→→→

点E和F分别在线段BC和DC上，且BE＝λBC，DF＝DC，则|AE|2|AF|的最小值为

9λ________．

→→→→

解析 在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，AE＝AB＋λBC，AF＝

2

2

2

2

2222

AD＋

→

1→1→1→→→→→→→→→→→DC，∴AE2AF＝(AB＋λBC)2(AD＋DC)＝AB2AD＋AB2DC＋λBC2AD＋9λ9λ9λ

1→1→λBC2DC＝2313cos 60°＋23＋λ313

9λ9λcos 60°＋λ

12λ17

3cos 120°＝＋＋≥29λ9λ218

2λ17292

2＋＝，当且仅当＝9λ218189λ

λ229

，即λ＝时，取得最小值为. 2318答案

29

18

6．(20142湖北，11)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.

解析 (a＋λb)⊥(a－λb)?(a＋λb)2(a－λb)＝a－λb＝0?18－2λ＝0?λ＝±3. 答案 ±3

2

22

2

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7．(20142江苏，12)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝→→→→→→

5，CP＝3PD，AP2BP＝2，则AB2AD的值是________．

→→→→1→→→→→3→→→→1

解析 因为AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝AD－AB，所以AP2BP＝(AD＋

444

AB)2(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2－AD2AB＝2，将AB＝8，AD＝5代入解得AB2AD＝22.

答案 22

8．(20132浙江，17)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹π|x|

角为，则的最大值等于________．

6|b|

解析 |b|＝(xe1＋ye2)＝x＋y＋2xye12e2＝x＋y＋3xy. ∴

|x||x|＝22， |b|x＋y＋3xy2

2

2

2

2

2

→→

3→

4

→

3→161→→2

→→

|x|

当x＝0时，＝0；

|b||x|

当x≠0时，＝

|b|

12?y?

3y ?x?＋x＋1??

＝

13?21?y?＋?＋4?x2?

≤2.

答案 2

9．(20132新课标全国Ⅰ，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若

b2c＝0，则t＝________.

解析 ∵b2c＝0，∴b2[ta＋(1－t)b]＝0，

ta2b＋(1－t)2b2＝0，

又∵|a|＝|b|＝1，�Qa，b�R＝60°， 1

∴t＋1－t＝0，t＝2. 2答案 2

10．(20122新课标全国，13)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.

解析 |2a－b|＝10?(2a－b)＝10?4＋|b|－4|b|cos 45°＝10?|b|＝32或|b|＝

2

2

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－2(舍去)． 答案 32

考点三 数量积的综合应用

1

1．(20132浙江，7)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点

4

P，恒有PB2PC≥P0B2P0C，则( )

A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90° C．AB＝AC

D．AC＝BC

→→→→

解析 设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(－2，0)，B(2，→→

0)，则P0(1，0)，设C(a，b)，P(x，0)，∴PB＝(2－x，0)，PC＝(a－x，b)， →→

∴P0B＝(1，0)，P0C＝(a－1，b)，

→→→→2

则PB2PC≥P0B2P0C?(2－x)2(a－x)≥a－1恒成立，即x－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立，∴Δ＝(2＋a)－4(a＋1)＝a≤0恒成立， ∴a＝0，即点C在线段AB的中垂线上， ∴AC＝BC，选D. 答案 D

α2β

2．(20122广东，8)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α ° β＝.若平面

β2β

2

2

?π?向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈?0，?，且a ° b和b ° a都在集合

4??

?n?

?|n∈Z?中，则a °?2?

b＝( )

3

C. 2

5D. 2

1A. 2

B．1

解析 由定义知a ° b＝

a2b|a||b|cos θ|a|＝＝cos θ. 2b2b|b||b|

b2a|b||a|cos θ|b|

b ° a＝＝＝cos θ. 2

a2a|a||a|

?n?

??. |n∈Z∵a ° b，b ° a∈?2?

设a ° b＝，b ° a＝(m，n∈Z)．

22则

|a|m|b|ncos θ＝，cos θ＝， |b|2|a|2

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