（五年高考真题）2016届高考数学复习 第五章 第二节 平面向量的数量积及其应用 理（全国通用）

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第二节 平面向量的数量积及其应用

考点一 向量的数量积

→→

1．(20152山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60° ，则BD2CD＝( ) 32

A．－a

2

32

B．－a4

32

C.a 4

32D.a 2

解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.

BD2＝BC2＋CD2－2BC2CD2cos 120°＝a2＋a2－2a2a3?－?＝3a2，

∴BD＝3a.

→→→→

∴BD2CD＝|BD|2|CD|cos 30°＝ 3a32

?1??2?

332＝a. 22

答案 D

→→

2．(20152安徽，8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是( ) A．|b|＝1 C．a2b＝1

B．a⊥b →

D．(4a＋b)⊥BC

解析 由于△ABC是边长为2的等边三角形； →→→→→→→

∴(AB＋AC)2(AB－AC)＝0，即(AB＋AC)2CB＝0， →→

∴(4a＋b)⊥CB，即(4a＋b)⊥BC，故选D. 答案 D

→→→

3．(20152四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝→→→→→

3MC，DN＝2NC，则AM2NM＝( ) A．20

B. 15

C．9

D．6

→→3→解析 AM＝AB＋AD，

4

NM＝CM－CN＝－AD＋AB，

→→→

1→1→43

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1→→→→1→→

∴AM2NM＝(4AB＋3AD)2(4AB－3AD)

412＝

11→2→222

(16AB－9AD)＝(1636－934)＝9，选C. 4848

答案 C

→→→1→

4．(20152福建，9)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，

t→→

4AC→AB→→

且AP＝＋，则PB2PC的最大值等于( )

→→|AB||AC|A．13

B．15

C．19

D．21

解析 建立如图所示坐标系，则 →????B?，0?，C(0，t)，AB＝?，0?，

?t??t?1

1

AC＝(0，t)，

→→

4AC→AB?1?4

AP＝＋＝t?，0?＋(0，t)

→→?t?t|AB||AC|

→→?1?＝(1，4)，∴P(1，4)，PB2PC＝?－1，－4?2(－1，t－4)

→

?t?

?1?＝17－?＋4t?≤17－2

?t?

答案 A

1

24t＝13，故选A.

t5．(20142新课标全国Ⅱ，3)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a2b＝( ) A．1

B．2

C．3

D．5

解析 由向量的数量积运算可知， ∵|a＋b|＝10，∴(a＋b)＝10， ∴a＋b＋2a2b＝10，① 同理a＋b－2a2b＝6，② ①－②得4a2b＝4，∴a2b＝1. 答案 A

6．(20142大纲全国，4)若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( ) A．2

B.2

C．1

D.2 2

2

2

2

2

2

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解析 由题意得

??（a＋b）2a＝a＋a2b＝0，22??－2a＋b＝0， 2

?（2a＋b）2b＝2a2b＋b＝0?

2

即－2|a|＋|b|＝0，又|a|＝1， ∴|b|＝2.故选B. 答案 B

7．(20142北京，10)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.

解析 ∵|a|＝1，∴可令a＝(cos θ，sin θ)，∵λa＋b＝0， 2

cos θ＝－，?λ??λcos θ＋2＝0，??∴即?

?λsin θ＋1＝0，1?

??sin θ＝－λ，由sinθ＋cosθ＝1得λ＝5，得|λ|＝5. 答案

5

2

2

2

22

1

8．(20142江西，14)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2

3与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.

解析 因为a＝(3e1－2e2)＝9－233323cos α＋4＝9，所以|a|＝3，b＝(3e1－e2)

2

2

2

2

2

＝9－233313cos α＋1＝8，所以|b|＝22，a2b＝(3e1－2e2)2(3e1－e2)＝9e1－1a2b8222

9e12e2＋2e2＝9－931313＋2＝8，所以cos β＝＝＝.

3|a|2|b|33223答案

22

3

→→→→→

9．(20132山东，15)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC|＝2，若AP＝→→→→

λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________． →→→→→→→→

解析 ∵AP＝λAB＋AC，AP⊥BC，又BC＝AC－AB， →→→→

∴(AC－AB)2(AC＋λAB)＝0.

→2→→→→→2

∴AC＋λAB2AC－AB2AC－λAB＝0，

?1?即4＋(λ－1)33323?－?－9λ＝0， ?2?

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7

即7－12λ＝0，∴λ＝.

12答案

7 12

→→

10．(20122北京，13)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE2CB的值→→

为________；DE2DC的最大值为________．

解析 如图建立直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，

C(1，0)．设E(x，1)，那么DE＝(x，1)，CB＝(0，1)，∴DE2CB＝1.

→→→

∵DC＝(1，0)，∴DE2DC＝x.

→→

∵正方形的边长为1，∴x的最大值为1，故DE2DC的最大值为1. 答案 1 1

考点二 平面向量的长度与角度问题

22

1．(20152重庆，6)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b3的夹角为( ) A.π 4

B.π 2

2→→

→→

C.3π 4

2

D．π

2

解析 由题意(a－b)2(3a＋2b)＝3a－a2b－2b＝0，即3|a|－|a|2|b|cos θ－2π?22?222

2|b|＝0，所以33??－3cos θ－2＝0，cos θ＝2，θ＝4，选A.

?3?

2

答案 A

2．(20152陕西，7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( ) A．|a2b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b|| C．(a＋b)＝|a＋b| D．(a＋b)(a－b)＝a－b

解析 对于A，由|a2b|＝||a||b|cos|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立．故选B. 答案 B

2

2

2

2

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