2016年中考圆解答题分类1

∵∠AED=∠ABD，

∴∠AED=∠ABC=∠CAD， ∴∠EAD=90°﹣∠CAD， 即∠EAD+∠CAD=90°， ∴EA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°，

∴∠ABC+∠ADB=90°，

∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3， ∴4∠ABC=90°， ∴∠ABC=22.5°，

由（1）知：∠ABC=∠CAD， ∴∠CAD=22.5°．

【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、角的互余关系；熟练掌握切线的判定方法，由圆周角定理得出直角是解决问题的关键． 18．（2016?乐山）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若EB=，且sin∠CFD=，求⊙O的半径与线段AE的长．

【分析】（1）连结OD，如图，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，则∠B=∠ODC，于是可判断OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得到结论；

第29页（共49页）

（2）在Rt△ODF利用正弦的定义得到sin∠OFD=AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE=

=，则可设OD=3x，OF=5x，所以=，可得到AE=

x，接着表示出

BE得到x=，解得x=，于是可得到AE和OD的长． 【解答】（1）证明：连结OD，如图， ∵AB=AC，

∴∠B=∠ACD， ∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD， ∴∠B=∠ODC， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ODF，sin∠OFD=设OD=3x，则OF=5x， ∴AB=AC=6x，AF=8x， 在Rt△AEF中，∵sin∠AFE=∴AE=?8x=

x，

x=x，

=，

=，

∵BE=AB﹣AE=6x﹣∴x=，解得x=， ∴AE=

?=6， ，

OD=3?=

即⊙O的半径长为．

第30页（共49页）

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．灵活应用三角函数的定义是解决（2）小题的关键． 19．（2016?巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N．劣弧

的长为π，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别

交于点A、B．

（1）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）求图中所示的阴影部分的面积（结果用π表示）

【分析】（1）作OD⊥AB于D，由弧长公式和已知条件求出半径OM=

，由直线解析式求

出点A和B的坐标，得出OA=3，OB=4，由勾股定理求出AB=5，再由△AOB面积的计算方法求出OD，即可得出结论；

（2）阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积，即可得出结果． 【解答】（1）证明：作OD⊥AB于D，如图所示： ∵劣弧∴

解得：OM=

的长为π， =，

， ，

即⊙O的半径为

∵直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B， 当y=0时，x=3；当x=0时，y=4， ∴A（3，0），B（0，4）， ∴OA=3，OB=4， ∴AB=

=5，

∵△AOB的面积=AB?OD=OA?OB， ∴OD=

=

=半径OM，

∴直线AB与⊙O相切；

第31页（共49页）

（2）解：图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积=×3×4﹣π×（

2

）

=6﹣π．

【点评】本题考查了切线的判定、弧长公式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、扇形面积的计算等知识；熟练掌握切线的判定，由三角形的面积求出半径是解决问题的关键． 20．（2016?南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）如果tan∠CAO=，求cosB的值．

【分析】（1）如图作OM⊥AB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明．

（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题． 【解答】解：（1）如图作OM⊥AB于M， ∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB， ∴OC=OM，

∴AB是⊙O的切线，

22

（2）设BM=x，OB=y，则y﹣x=1 ①， ∵cosB=∴=

2

=，

2

，

∴x+3x=y+y ②，

由①②可以得到：y=3x﹣1，

22

∴（3x﹣1）﹣x=1， ∴x=，y=， ∴cosB==．

第32页（共49页）