高考高三数学一轮复习专题专题 不等式

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专题四 不等式

江苏省苏州实验中学徐贻林

【课标要求】 1．课程目标

(1) 不等关系：了解现实世界和日常生活中的一些不等关系．

(2) 一元二次不等式：能从实际情境中抽象出一元二次不等式；了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；掌握一元二次不等式的解法．

(3) 二元一次不等式组与简单线性规划问题：能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题；并能加以解决（一般的最优整数解问题不作要求）．

(4) 基本不等式ab≤

a?ba?b（a≥0，b≥0）：掌握基本不等式ab≤（a≥0，22b≥0）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能

用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）．

2．复习要求

（1）不等式是作为描述、刻画现实世界中不等关系的一种数学模型介绍给学生的，复习中要淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用，注意不要偏重于从数学到数学的纯理论探讨．

（2）求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解．复习中，应注意融入算法的思想，让学生更加清晰地认识不等式求解过程．

（3）不等式有丰富的实际背景，二元一次不等式组是刻画平面区域的重要工具．刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，复习中应注意从实际背景中抽象出二元一次不等式组．

（4）线性规划是优化模型之一．教师应引导学生体会线性规划的基本思想，用图解法解决一些简单的线性规划问题，不必引入过多名词．简单的线性规划问题指约束条件不超过四个（x≥0也看作一个约束条件）的线性目标函数的最大（小）值问题．实际问题中经常会涉及最优整数解问题，复习中可向学生作一些介绍，但在训练和考查中不作要求．

3．复习建议

（1）重视数学思想方法的复习

① 在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练力度．

② 加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如遇到含有参的问题，这时可能要对参数进行不重不漏的讨论．

③ 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练． ④ 在不等式的证明中，要加强化归思想的复习． (2) 强化不等式的应用

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在复习时应用加强这方面知识和能力的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，在求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误，同时还要注意实际情况的限制．

【典型例题】 例1（填空题）

（1）若2x解析：2x22?11?()x?2，则函数y?2x的值域是． 4?111?()x?2?24?2x，x2?1?4?2x，x2?2x?3?0，?3?x?1，?y?2． 48（2）已知函数f(x)??解析：依题意??x?0,?x?2,??x?2,x?0;x?0．则不等式f(x)?x2的解集是．

?x?0,或??1?x?0或0?x?1??1?x?1． ?22x?2?x?x?2?x??（3）已知函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象经过点(?1,3)和(1,1)两点，若0?c?1，则a的取值范围是．

解析：由题意得??a?b?c?3,，a?c?2,c?2?a,0?2?a?1,1?a?2．

a?b?c?1?22??x?2x?3?x?2x?3,（4）不等式组?的解集为__________________．

2x?x?2?0??2???1?x?3,??1?x?3,?x?2x?3?0??解析：?2????,1?x?3．

(x?2)(x?1)?0x?1?0?????x?x?2?0?（5）若关于x的不等式x2?ax?a??3的解集不是空集，则实数a的取值范围是． 解析：设f?x??x2?ax?a，则关于x的不等式x2?ax?a??3的解集不是空集

?f?x???3在???,???上能成立?fmin?x???3．

（6）已知|a?b|??c(a，b，c?R），给出下列不等式：①a??b?c；②a??b?c；

③a?b?c；④|a|?|b|?c；⑤|a|??|b|?c．其中一定成立的不等式是（注：把成立的不等式的序号都填上）．

解析：∵|a?b|??c?c?a?b??c??b?c?a??b?c，∴①②是正确的．

∵|a|?|b|≤|a?b|??c，∴|a|≤|b|?c，∴④正确．令a?3，b??1，c??4，满足条件，但a?3?b?c??1?(?3)??4，|a|?3??|b|?c??|?1|?(?3)?2不能成立，∴③，⑤是错误的．

（7）若a,b,c?0且a2?2ab?2ac?4bc?12，则a?b?c的最小值是．

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解析：(a?b?c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc?a2?2ab?2ac?4bc?12，当且仅当b＝c时取等号．或者(a?b?c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋(b?c)2?12，当且仅当b＝c时取等号．

（8）定义在(0,??)的函数f(x)满足f(x)?f(y)?f(xy)，且x?1时f(x)?0，若不等式

f(x2?y2)?f(xy)?f(a)对任意x,y?(0,??)恒成立，则实数a的取值范围是．

解：依题设x1,x2?(0,??)，且x1?x2，则f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(x1?x2?1．根据题意有x1x2xx)=f(x1)?(f(x1)?f(2))??f(2)?0(x?1时f(x)?0)．所x1x1x1以f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)．从而函数f(x)在(0,??)单调递减，所以不等式

f(x2?y2)?f(xy)?f(a)?f(x2?y2)?f(axy)?x2?y2?axy，

即a?x2?y2xy恒成立．又xy?x2?y2x2?y2?2，，从而从而a?2，又a?0，

2xy所以0?a?2，从而实数a的取值范围为0,2?，填写答案为0,2?． ??11（9）已知两正数x，y 满足x＋y＝1，则z=(x?)(y?)的最小值为．

xy1(x?y)2?2xy2111yx??xy?2， 解析：z=(x?)(y?)=xy???=xy??xyxyxyxyxyxy??令t＝xy, 则0?t?xy?(f(t)?t?x?y2112?1?)?，由f(t)?t?在?0,?上单调递减，故当t=时，244t?4?331252有最小值，所以当x?y?时z有最小值．

424t（10）三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，

求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是． 解析：由x2＋25＋|x3－5x2|≥ax,1?x?12?a?x?x?25?|x2?5x|，而x2525?2x?10，等号当且仅当x?5?[1,12]时成立；且|x2?5x|?0，等号当且仅当xx学习好资料 欢迎下载

25?|x2?5x|]min?10，等号当且仅当x?5?[1,12]时xx?5?[1,12]时成立；所以，a?[x?成立；故a?(??,10]．

例2 已知命题p:4?x?6，q:x2?2x?1?a2?0(a?0)．若非p是q的充分不必要 条件，求a的取值范围．

解：?p:4?x?6，x?10，或x??2．A??x|x?10，或x??2?．

q:x2?2x?1?a2?0，x?1?a，或x?1?a，记B??x|x?1?a，或x?1?a?．

?1?a??2?而?p?q，?A?B，即?1?a?10,?0?a?3．

?a?0?例3已知适合不等式x2?4x?p?x?3?5的x的最大值为3，求p的值． 解：因为x的最大值为3，故x-3<0，原不等式等价于x2?4x?p?(x?3)?5， 即?x?2?x?4x?p?x?2，则{2x2?5x?p?2?0(1)x2?3x?p?2?0(2)，设（1）（2）的根分别为

x1、x2(x2?x1),x3、x4(x4?x3)，则x2?3或x4?3．若x2?3，则9-15+p-2=0，p=8．若x4?3，

则9?9?p+2=0,p=?2．当a=?2时，原方程组无解，所以p=8．

例４一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有45cm2的

面积，应如何设计十字型宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．

45?x2解：设y?x?2h,由条件知：x?4xh?45,即h?,

4x2设外接圆的半径为R，即求R的最小值， 4R2?x2?(2h?x)2?2(x2?2hx?2h2),45?x280?85x2?x4?2R?f(x)?x??4x8x222

51025?5?x2?2(0?x?2R)，?2R2?5?2?5?5,84x510等号成立时，x2?2?x?2,∴当x?2时R2最小，即R最小，从而周长l最小，此时

8xx?2cm,y?2h?x?5?1cm．

例5已知函数f?x?在R上有定义，对任何实数a?0和任何实数x，都有f?ax??af?x?．