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全优好卷

同理可得，﹣=，

由即＞+＞，＞+， ，

即有＜，

即为﹣＜﹣；

（2）由a+b=1，（a，b＞0且a≠b），

=（a+b）（+）=2++＞2+2则＞4．

=4，

【点评】本题考查不等式的证明，注意运用不等式的性质和基本不等式，考查推理能力，属于中档题． 20． 喜欢甜品 不喜欢甜品 总计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 总计 70 30 100 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行抽样调查，调查结果如下表所示

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”

（2）已知在被调查的北方学生中有5人是数学系的学生，其中2人喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率？ 参考公式：K=2

，n=a+b+c+d

下面的临界表供参考： 2P（K≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 【考点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计． 【分析】（1）将n=100，a=60，b=10，c=20，d=10代入公式计算即可；（2）代入条件概率的公式计算即可． 【解答】解：（1） 全优好卷

全优好卷

所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异． （2） 【点评】本题考查了独立检验的应用，考查概率问题，是一道基础题． 21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （1）证明：∠D=∠E；

（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形； （3）若BC=1，且△ADE的外接圆半径为2，求四边形ABCD的面积．

【考点】与圆有关的比例线段．

【专题】证明题；选作题；数形结合；综合法． 【分析】（1）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，可证明∠D=∠E；

（2）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而得∠A=∠E，可证明△ADE为等边三角形；

（3）根据△ADE外接圆的半径求出高与边长，利用四边形ABCD是梯形，求出梯形的高h，即可计算梯形的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D=∠CBE， ∵CB=CE， ∴∠E=∠CBE， ∴∠D=∠E；

（2）证明：设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC， ∴O在直线MN上，

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M， ∴OM⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E， ∴∠A=∠E，

由（1）知，∠D=∠E， ∴△ADE为等边三角形；

（3）△ADE是等边三角形，且外接圆的半径为2， ∴△ADE的高为3， 且×AD=2，

全优好卷

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∴AD=2；

又BC=1，BC∥AD，

∴四边形ABCD是梯形，设梯形的高为h， 则=，

解得h=∴梯形ABCD的面积为 S=×（2+1）×；

=．

【点评】本题考查了圆的内接四边形性质，也考查了三角形外接圆以及求面积的应用问题，是综合性题目．

22．观察下列三角形数表：

第一行 1 第二行 2 2 第三行 3 4 3 第四行 4 7 7 4 第五行 5 11 14 11 5 …

*

假设n行的第二个数为an（n≥2，n∈N）． （1）依次写出第八行的所有数字；

（2）归纳出an+1与an之间的关系式，并求出an的通项公式． 【考点】归纳推理． 【专题】推理和证明．

【分析】由已知分析可得第n行的第一个数字和最后一个数字为n，其它数字规律是上一行的相邻两个数的和为下一行的数，进而得到答案． 【解答】解：（1）由已知分析可得第n行的第一个数字和最后一个数字为n，其它数字规律是上一行的相邻两个数的和，

用列举的方法计算第六行的数有，6，16，25，25，16，6． 第七行的数有，7，22，41，50，41，22，7

第八行的数有，8，29，63，91，91，63，29，8． （2）由已知可得：

全优好卷

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当n=2时，an+1﹣an=2； 当n=3时，an+1﹣an=3； 当n=4时，an+1﹣an=4； 当n=5时，an+1﹣an=5； 当n=6时，an+1﹣an=6； 当n=7时，an+1﹣an=7； …

归纳可得：an+1﹣an=n，

相加的an﹣a2=（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+2=∴an=+2=n2﹣n+1 ，

【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

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