《概率论与数理统计》习题及答案 第一章

解 P(AB)?1?P(?A由P(AB)?P(AB)得

B)?1?P(A?)P(B?)P (AB) P(B)?1?P(A)?1?p

14．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q,r，求P(AB)及P(A?B) 解 P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?1?P(B)?P(A)?P(AB) ?1?q?p?q?r?1?p?r.

15．设P(A)?P(B)?0.7，且A,B仅发生一个的概率为0.5，求A,B都发生的概率。 解1 由题意有

0.5?P(AB?AB)?P(AB)?P(AB) ?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB) ?0.7?2P(AB)， 所以

P(AB)?0.1.

解2 A,B仅发生一个可表示为A?B?AB，故

0.5?P(A?B)?P(AB)?P(A)?P(B)?2P(AB), 所以

P(AB)?0.1.

16．设P(A)?0.7,P(A?B)?0.3,P(B?A)?0.2，求P(AB)与P(AB).

A?B)?P(A?)P(AB?) 解 0.3?P(0?.7P，A( B所以

P(AB)?0.4， 故

P(AB)?0.6；

0.2?P(B)?P(AB)?P(B)?0.4. 所以

P(B)?0.6

P(AB)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?0.1 17．设AB?C，试证明P(A)?P(B)?P(C)?1 [证] 因为AB?C，所以

P(C)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?P(A)?P(B)?1

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故

P(A)?P(B)?P(C)?1. 证毕. 18．对任意三事件A,B,C，试证

P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A).

[证] P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

?P(AB?AC)?P{A(B?C)}?P(A). 证毕. 19．设A,B,C是三个事件，且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1814,P(AB)?P(BC)?0，

，求A,B,C至少有一个发生的概率。

P(A)?P(B?)P(?C)P(A?)B(P?A)C(P?B)C 解 P(A?B?C)?因为 0?P(ABC)? P(A?B?C)?34 (PABCP(AB)?，所以0P(ABC)?0，于是

?18?58

2 20．随机地向半圆0?y?2ax?x（a为正常数）内掷一点，点落在园

内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于

?/4的概率. 解：半圆域如图

y 设A?‘原点与该点连线与x轴夹角小于?/4’

x 由几何概率的定义

1A的面积2?? P(A)? ?4 ?/412?半园的面积2x ?aa 02y 21．把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.

?a?21a211 解1 设A?‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为x,y,a?x?y，则0?x?a,0?y?a,0?x?y?a，不等式构成平面域S. a A发生?0?x?A a2,0?y?a2,a2?x?y?a

S a/2 不等式确定S的子域A，所以 a /2 a P(A)?0 A的面积S的面积?14

解2 设三段长分别为x,y,z，则0?x?a,0?y?a,0?z?a且

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x?y?z?a，不等式确定了三维空间上的有界平面域S.

z A发生?x?y?z x?z?y y?z?x

A y 不等式确定S的子域A，所以

?. P(A)?S的面积4x A的面积1 22．随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与

y之和不超过1，积不小于0.09的概率.

解 0?x?1,0?y?，不等式确定平面域1S.

y A?‘x?y?1,xy?0.09’则A发生的 1 充要条件为0?x?y?1,1?xy?0.09不

S A 等式确定了S的子域A，故

??(1?x?)dx P(A)?0.1S的面积xy 00.1 0.9 1 ?0.4?0.18ln3?0.2

A的面积0.90.9 23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离a(a?0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l(l?a)的针，求针与任一平行线相交的概率.

解 设A?‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。

a ?为针与平行线的夹角，则 a 0?x?a2,0????，不等式确定了平面上

x 的一个区域S.

L 2 A发生?x?sin?，不等式确定S的子域A

l 2x?sin?aS 2 故 P(A)?a0? ? ?2A 1??0L2sin?d??2La?

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