2012年高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及参考答案（word版）

(2)由(1)得f(x)?lnx?exx?1.

因为lnx,?e在(0,??)上均单调递增,lne?e?0

e令g(x)?lnx?e,所以有

x当x?e时,g(x)?g(e)?0,从而f(x)?lnx?e?1单调递增;

x当0?x?e时, g(x)?g(e)?0从而f(x)?e?lnx?1单调递减; x故f(x)的单调递减区间为(0,e);单调递增区间为

(e,??)……………………15

分

c (3)因为c?d,cd?1,所以d?1,c?1, 于是f(c)?c1?lnc?1,f(d)?f()?ec?lnc?1?ec?lnc?1. ec又因为当c?1时,ec?lnc?lnc?e?lnc?e,

cc所以f(c)?f(d).命题得证……………………………20分

13.解:设?AOB??,

因为OA?AB,所以?OBA??,?BAO???2?. 又OA?OC,得?OCA???2?,,于是?BOC???3?. 因为OA?AB,D为线段OB的中点 所以AD?OB,从而

OD?OA?cos??cos?.……………………………………5

5

分

在?OCD中,由余弦定理得

CD2?OC2?OD2?2OC?OD?cos?BOC

?1?cos2??2cos??cos(??3?)

?1?cos2??2cos??cos3?=8cos4??5cos2??1 ?8(cos2??527)?.……………………………101632

分

又?BOC???3???AOB??

?OCA???2???OBA??,

得??3???,??2???, 所以?.…………………………………………1543从而1?cos2??1.

42????分

于是

711425?CD2?,得?CD?,当且仅当cos??322824时取等号.

所以线段CD长的取值范围是[

142,).……………………20分 8214.证明:有题设知a?b?d?c,ab?cd.……………………5分 由于a,b,c,d是正整数,所以a?b,a?c,b?c中任意两个数之和大于第三个数,

从而知存在以a?b,a?c,b?c为边的三角形. 因为(a?c)2?(b?c)2?a2?b2?2c2?2c(a?b)

?a2?b2?2c2?2c(d?c)

?a2?b2?2cd?a2?b2?2ab?(a?b)2.………………………15

分

6

所以这样的三角形是直角三角形,其直角边长为a?c,b?c,斜边长为a?b,

且该三角形的面积为S?12(a?c)(b?c)?12[ab?c(a?b?c)]

12(ab?cd)?ab. 故边长为

a?b,a?c,b?c的三角形符合题设求………………………………………………………20分

7

要