2012年高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及参考答案（word版）

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题（70分）

1、当x?[?3,3]时，函数f(x)?|x3?3x|的最大值为____________.

????????????????2、在?ABC中，已知AC?BC?12,AC?BA??4,则

AC?____________.

3、从集合?3,4,5,6,7,8?中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.

4、已知a是实数，方程x2?(4?i)x?4?ai?0的一个实根是b（i是虚部单位），则|a?bi|的值为____________.

x2y25、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:??1的右焦点为

124F，一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于

A,B两点.若?FAB的面积为83，则直线的斜率为

____________.

6、已知a是正实数，k?alga的取值范围是____________. 7、在四面体ABCD中，AB?AC?AD?DB?5,BC?3,CD?4该四面体的体积为____________.

8、已知等差数列?an?和等比数列?bn?满足：

a1?b1?3,a2?b2?7,a3?b3?15,a4?b4?35,则

an?bn?____________.（n?N*）

71，75这7个数排成一列，使任意连续4个9、将27,37,47,48,55，

1

数的和为3的倍数，则这样的排列有____________种. 10、三角形的周长为31，三边a,b,c均为整数，且a?b?c，则满足条件的三元数组(a,b,c)的个数为____________. 二、解答题（本题80分，每题20分）

11、在?ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，证明： （1）bcosC?ccosB?a

cosA?ccosB（2）?a?b2sin2cC2

12、已知a,b为实数，函数f(x)?|lnx?|?b(x?0).若

ef(1)?e?1,f(2)??ln2?1.

2ax（1）求实数a,b；

（2）求函数f(x)的单调区间；

（3）若实数c,d满足c?d,cd?1，求证：f(c)?f(d)

2

13、如图，半径为1的圆O上有一定点M为圆O上的动点.在射线OM上有一动点

B,AB?1,OB?1.线段AB交圆O于另一点C，D为线段的OB中点.求线段CD长的取

值范围.

14、设是a,b,c,d正整数，a,b是方程x2?(d?c)x?cd?0的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab的直角三角形.

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2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷答案

一、填空题（70分） 1、18. 2、4. 3、

13. 4、22. 5、.

2106、[1,??). 7、53. 8、3n?1?2n（n?N*） 9、144种. 10、24.

二、解答题（本题80分，每题20分） 11.证明:(1)在?ABC中,由正弦定理得

bcosC?ccosB?2RsinBcosC?2RsinCcosB

?2Rsin(B?C)?2RsinA?a

故命题得证………………………………………………10分 (2)由(1)知bcosC?ccosB?a,同理acosC?ccosA?b, 所以bcosC?ccosB?acosC?ccosA?a?b 即c(cosB?cosA)?(a?b)(1?cosC)?(a?b)?2sin2C,

2所以cosA?cosB?a?b2sin2cC2.………………………………20

分

12.解：（1）由题设f(1)?e?1f(2)?e?ln2?1

2得a?b?e?1,ln2?a2?b?e?ln2?1, 222因为a?2,所以a?2ln2,从而a?b?e?1,且a?b?e?1, 解得a?e,b?1.…………………………………………5分

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