等效思想在解物理竞赛题中的运用

如图6甲所示，为抛物线y = Ax2的图象．因图象关于y轴对称，只需考虑x正半轴．对于图线上任一点P（x，y），有

1x2a2y?a（）?x 22v02v0

对比题给抛物线方程y = Ax2，立即定出

a2A?，或a?2Av（1）0 22v0

又P点合速度vP与两分速度之间有关系 [见图6乙] x222vP?v0?（a?） v0

2 ?v0（1?4A2x2）（2）

将P点的加速度a分解，如图6丙所示．法向加速度为 v02an?asin??2Av0? x222v0?（2Av0?） v0 22Av0?（3） 221?4Ax 22vPvP由公式 a n ? ， 可得 P点的曲率半径r?．将（2）、（3）两

ran

式代入并整理，得到 32 （1?4A2x2）r? 2A

这就是本题最终结果．其中x为曲线上任一点P的横坐标，由对称性知，上式x在整个x轴取值均成立．

【点评】求曲线上某点的曲率半径，按照通常思路要用到高等数学知识，似乎超出中学知识的范畴．然而通过“虚构”等效物理模型——

- 9 -

小球做平抛运动，将题给抛物线方程赋予物理意义，使问题在中学知识范围内顺利解决．

还须指出的是，在等效法解题中，题目的等效模型和题目本身涉及的可能是同一部分内容，也可能不是，甚至可能不是同一学科内容．比如本文例1题目是电学内容，等效模型是力学内容；例4题目是运动学内容，等效模型是功能关系内容；例6题目是高等数学导数的应用内容，等效模型是物理力学内容．因此，在寻找和构建题目的等效模型时，要放开思路，大胆联想，不拘一格．只有这样，我们才能把等效法用活用好，用出精彩！

- 10 -