立体几何中的翻折和存在性问题

立体几何中的翻折和存在性问题

类型一：立体几何中的翻折问题

例1.如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足

AE?FC?CP?1.将?AEF沿EF折起到?A1EF的位置，使平面A1EF?平面EFB，连结A1B，

A1P.（如图2）

（1）若Q为A1B中点，求证：PQ∥平面A1EF； （2）求证：A1E?EP.

AEFB图1A1QEFPCPCB图2

例2.如图1，在?A?45?的平行四边形ABCD中，DO垂直平分AB，且AB?2，现将△ADO沿DO折起（如图2），使AC?6． （Ⅰ）求证：直线AO?平面OBCD；

（Ⅱ）求平面AOD与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值．

类型二：立体几何中的存在性问题

例3.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2． （Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；

（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求

例4.如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．

（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；

（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 练习：

的值；如果不存在，说明理由．

1．已知菱形ABCD中，AB?4， ?BAD?60（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C1的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．

（1）证明：BD //平面EMF； （2）证明：AC1?BD；

（3）当EF?AB时，求线段AC1的长．

2.等腰△ABC中，AC=BC=

，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到

．

A图1DCC1FDMBBAE图2P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE； （2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2 （1）求证：BE∥平面PAD； （2）求证：平面PBC⊥平面PBD；

（3）设Q为棱PC上一点，PQ=λPC，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为45°．

4.已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点； （1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；

（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于

？