圆锥曲线与方程 知识点详细

椭圆

1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1?PF2?2a?F1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若(PF1?PF2?F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2；若(PF1?PF2?F1F2)，则动点P的

轨迹无图形.

2、椭圆的标准方程

x2y21）．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：2?2?1(a?b?0)，其中c2?a2?b2；

aby2x22）．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：2?2?1(a?b?0)，其中c2?a2?b2；

ab注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

x2y2??1 或者 mx2+ny2=1 。 ②两种标准方程可用一般形式表示：

mnx2y23、椭圆：2?2?1(a?b?0)的简单几何性质

abx2y2（1）对称性：对于椭圆标准方程2?2?1(a?b?0)：是以x轴、y轴

ab为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对

称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线x??a和y??b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x?a，y?b。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆

x2y2?2?1(a?b?0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1(?a,0)，A2(a,0)，2abB1(0,?b)，B2(0,b)。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A2?2a,B1B2?2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

2cc?。②因为（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e?2aa(a?c?0)，所以e的取值范围是(0?e?1)。e越接近1，则c就越接近a，从而b?a2?c2越小，因此椭圆越扁；反之，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当a?be越接近于0，c就越接近0，

22时，c?0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x?y?a。

x2y2 注意：椭圆2?2?1的图像中线段的几何特征（如下图）：

abx2y2假设已知椭圆方程2?2?1（a?0,b?0），且已知椭

aba2圆的准线方程为x??，试推导出下列式子：（提示：用三角

c函数假设P点的坐标

PF1PM1?PF2PM2?e

1

4、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有

PF1PM1?PF2PM2?e

x2y2y2x25、椭圆2?2?1 与 2?2?1(a?b?0)的区别和联系

abab标准方程 x2y2??1 (a?b?0) a2b2y2x2??1 (a?b?0) a2b2图形 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 性质 轴长 离心率 F1(?c,0)，F2(c,0) F1(0,?c)，F2(0,c) F1F2?2c F1F2?2c x?a，y?b 关于x轴、y轴和原点对称 x?b，y?a (?a,0)，(0,?b) 长轴长=2a，短轴长=2b (0,?a)，(?b,0) e?c(0?e?1) a准线方程 焦半径 a2x?? ca2y?? cPF1?a?ex0，PF2?a?ex0 PF1?a?ey0，PF2?a?ey0 一般而言： 椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线； 椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点；

离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于0，椭圆越圆；当离心率越接近于1时，椭圆越扁。

6.直线与椭圆的位置关系

1.将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式?来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。

2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础。 7.椭圆方程的求解方法

1.要学会运用待定系数法来求椭圆方程，即设法建立a,b或者e,c中的方程组，要善于抓住条件列方程。

x2y2y2x2先定型，再定量，当焦点位置不确定时，应设椭圆的标准方程为2?2?1（a?b?0）或2?2?1ababx2y2??1 或者 mx2+ny2=1 （a?b?0）；或者不必考虑焦点的位置，直接把椭圆的标准方程设为

mn（m?0,n?0,m?n），这样可以避免讨论及繁杂的计算，当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。

2

但是需要注意的是m和n（或者

11和）谁代表a2，谁代表b2要分清。不要忘记隐含条件和方程，例如：mna?b?c，e?222ca等等。不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄混。

2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析，即使画不出图形，思考时也要联想图形，注意数形结合法的使用，切勿漏掉一种情况。

【典型例题】 1、 椭圆的定义

例1、已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )

A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线 2、 椭圆的标准方程

例2、求满足以下条件的椭圆的标准方程

(1)长轴长为10，短轴长为6； (2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)； (3) 经过点(5，1)，(3，2) 3、 离心率

x2y2例3、椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。

ab若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________

4、 最值问题

x2?y2?1两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，最小值为_____ 例4、椭圆45、 直线和椭圆

x2y2??1，试问当m为何值时： 例10、已知直线l:y=2x+m，椭圆C：42 (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.

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双曲线

一、知识点讲解

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：|PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2|）表示双曲线的一支。

2a?|F1F2|表示两条射线；2a?|F1F2|没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2??1(a?0,b?0) a2b2中心在原点，焦点在y轴上 y2x2?2?1(a?0,b?0) 2abP y F2 P 图 形 y x O A2 F2 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径 （3）双曲线的渐近线： 2222①求双曲线x?y?1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x?y?0，因式分解得到x?y?0。

2222B2 O B1 F1 x F1 A1 A1(?a,0),A2(a,0) B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) |F1F2|?2c(c?0) ce?2F1(0,?c),F2(0,c) ?a2?b2 c(e?1)（离心率越大，开口越大） ay??bx a2b2ay?? ax bababab22x2y2②与双曲线2?2?1共渐近线的双曲线系方程是x2?y2??；

abab（4）等轴双曲线为x?y?t，其离心率为2 1.注意定义中“陷阱

问题1：已知F1,F2距离之差为6，则双曲线的方程为 1(?5,0),F2(5,0)，一曲线上的动点P到F2224